Type 'demo()' for some demos, 'help()' for on-line help, or 'help.start()' for an HTML browser interface to help. Type 'q()' to quit R.

Transcription

1 R version ( ) Copyright (C) 2011 The R Foundation for Statistical Computing ISBN Platform: x86_64-pc-mingw32/x64 (64-bit) R is free software and comes with ABSOLUTELY NO WARRANTY. You are welcome to redistribute it under certain conditions. Type 'license()' or 'licence()' for distribution details. R is a collaborative project with many contributors. Type 'contributors()' for more information and 'citation()' on how to cite R or R packages in publications. Type 'demo()' for some demos, 'help()' for on-line help, or 'help.start()' for an HTML browser interface to help. Type 'q()' to quit R. [Previously saved workspace restored] > rm(list=ls()) > ls() character(0) > setwd("d:/vjezbe4") > getwd() [1] "D:/Vjezbe4" > # 1.Učitajmo podatke iz datoteke podaci.dat i spremimo podatke koji se odnose na Etrušćane u vektor etr: > podaci<-read.table("podaci.dat") > podaci V1 V

2 > etr<-podaci[,1] > # 2.Izračunajmo duljinu, minimalan i maksimalan element, te raspon uzorka: > n_etr<-length(etr) > n_etr [1] 70 > min_etr<-min(etr) > min_etr [1] 126 > max_etr<-max(etr) > max_etr [1] 158 > d_etr<-max_etr-min_etr 2

3 > d_etr [1] 32 > # 3.Nacrtajmo histogram apsolutnih frekvencija sa 11 razreda: > prva<-min_etr-0.5 > k<-11 > d_etr/k [1] > c<-3 > gr_etr<-numeric(12) > gr_etr [1] > for (i in 1:(k+1)){ + gr_etr[i]<-prva+(i-1)*c} > gr_etr [1] > sr_etr<-numeric(k) > for (i in 1:k){ + sr_etr[i]<-(gr_etr[i]+gr_etr[i+1])/2} > sr_etr [1] > fr_etr<-numeric(11) > for (i in 1:n_etr){ + for(j in 1:k){ + if (etr[i]>=gr_etr[j] && etr[i]<gr_etr[j+1]){ + fr_etr[j]<-fr_etr[j]+1 > fr_etr [1] > sum(fr_etr) [1] 70 > barplot(fr_etr,names.arg=sr_etr,space=c(0.0)) > # 4.Uz pretpostavku da uzorak dolazi iz normalne distribucije, procijenimo parametre µ i sigma: > mikapica_etr<-mean(etr) > sigmakapica_etr<-sd(etr) > mikapica_etr [1] > sigmakapica_etr [1] > # 5.Testirajmo Pearsonovim hi-kvadrat testom hipotezu o pripadnosti podataka normalnoj distribuciji. Izračunajmo prvo vjerojatnosti p_i, te ih popravimo tako da ukupna suma bude 1: > p_etr<-numeric(k) > for (i in 1:k){ + p_etr[i]<-pnorm(gr_etr[i+1],mikapica_etr,sigmakapica_etr)- pnorm(gr_etr[i],mikapica_etr,sigmakapica_etr) > p_etr [1] [7] > sum(p_etr) 3

4 [1] > p_etr[1]<-pnorm(gr_etr[2],mikapica_etr,sigmakapica_etr) > p_etr[k]<-1-pnorm(gr_etr[k],mikapica_etr,sigmakapica_etr) > p_etr [1] [7] > sum(p_etr) [1] 1 > # 6.Izračunajmo očekivane frekvencije i grupirajmo razrede tako da sve očekivane frekvencije budu barem 5: > ofr_etr<-n_etr*p_etr > ofr_etr [1] [7] > ofrnove_etr<-c(sum(ofr_etr[1:4]),ofr_etr[5:8],sum(ofr_etr [9:11])) > ofrnove_etr [1] > # 7.Izračunajmo nove opažene frekvencije uz istu grupaciju razreda i odredimo novi broj razreda: > frnove_etr<-c(sum(fr_etr[1:4]),fr_etr[5:8],sum(fr_etr [9:11])) > frnove_etr [1] > knovi_etr<-length(ofrnove_etr) > knovi_etr [1] 6 > # 8.Izračunajmo realizaciju test statistike H, broj stupnjeva slobode i P-vrijednost testa: > h_etr<-crossprod((frnove_etr-ofrnove_etr)^2,ofrnove_etr^(- 1)) > h_etr [,1] [1,] > df_etr<-knovi_etr-2-1 > df_etr [1] 3 > pv_etr<-1-pchisq(h_etr,df_etr) > pv_etr [,1] [1,] > # 9.Odredimo kritično podrucje za razinu znacajnosti 0.05: > alpha<-0.05 > cv_etr<-qchisq(1-alpha,df_etr) > cv_etr [1] > # Kritično područje je [7,814728,+inf>. Budući da je < , zaključujemo da podaci ne podržavaju odbacivanje nul hipoteze na razini značajnosti od > # 10.Na temelju uzorka, procijenimo 95% pouzdani interval za očekivanje: > t<-qt(1-alpha/2,n_etr-1) > t 4

5 [1] > mikapica_u<-mikapica_etr+(t*sigmakapica_etr)/sqrt(n_etr) > mikapica_l<-mikapica_etr-(t*sigmakapica_etr)/sqrt(n_etr) > mikapica_u [1] > mikapica_l [1] > # Dakle, procjena 95% pouzdanog intervala za očekivanje je [ , ] > # 11.Na temelju uzorka, procijenimo 95% pouzdani interval za varijancu: > c2<-qchisq(1-alpha/2,n_etr-1) > c1<-qchisq(alpha/2,n_etr-1) > varkapica_u<-((n_etr-1)/c1)*(sigmakapica_etr^2) > varkapica_l<-((n_etr-1)/c2)*(sigmakapica_etr^2) > varkapica_u [1] > varkapica_l [1] > # Dakle, procjena 95% pouzdanog intervala za varijancu je [ , ] > # 12.Na temelju uzorka, procijenimo 95% pouzdani interval za standardnu devijaciju: > sigmakapica_u<-sqrt(varkapica_u) > sigmakapica_<-sqrt(varkapica_l) > sigmakapica_l<-sqrt(varkapica_l) > sigmakapica_u [1] > sigmakapica_l [1] > # Dakle, procjena 95% pouzdanog intervala za standardnu devijaciju je [ , ] > # 13.Spremimo podatke koji se odnose na Talijane u vektor tal i ponovimo sve napravljeno na tim podacima: > # 14.U radnom direktoriju definirajmo funkcije f_p(p) i g_p (p) (za funkcije f_p i g_p uzmite da su n=11 i t=4, kako je u zadatku zadano): > bin<-function(n,k){ + if (k==0) + var<-1 + else + var<-((n-k+1)/k)*bin(n,k-1) > koef<-numeric(5) > for (i in 1:5) + { + koef[i]<-bin(11,i-1)} > koef [1] > f_p<-function(p){ + suma<-(1-p)^11+11*p*(1-p)^10+55*p^2*(1-p)^9+165*p^3*(1-p)^8+ 330*p^4*(1-p)^7} > g_p<-function(p){ + suma<-1-((1-p)^11+11*p*(1-p)^10+55*p^2*(1-p)^9+165*p^3*(1-p) ^8)} > # 15.Provjerimo jesu li ovako definirane funkcije f_p i g_p injekcije: 5

6 > D(expression((1-p)^11+11*p*(1-p)^10+55*p^2*(1-p)^9+165*p^3* (1-p)^8+330*p^4*(1-p)^7),'p') 11 * (1 - p)^10-11 * p * (10 * (1 - p)^9) - 11 * (1 - p)^10 + (55 * (2 * p) * (1 - p)^9-55 * p^2 * (9 * (1 - p)^8)) + (165 * (3 * p^2) * (1 - p)^8-165 * p^3 * (8 * (1 - p)^ 7)) + (330 * (4 * p^3) * (1 - p)^7-330 * p^4 * (7 * (1 - p)^ 6)) > derf_p<-function(p){ + 11 * (1 - p)^10-11 * p * (10 * (1 - p)^9) - 11 * (1 - p)^ (55 * (2 * p) * (1 - p)^9-55 * p^2 * (9 * (1 - p)^8)) + + (165 * (3 * p^2) * (1 - p)^8-165 * p^3 * (8 * (1 - p)^ 7)) + + (330 * (4 * p^3) * (1 - p)^7-330 * p^4 * (7 * (1 - p)^ 6)) > curve(derf_p,0,1) > D(expression(1-((1-p)^11+11*p*(1-p)^10+55*p^2*(1-p)^9+165*p^ 3*(1-p)^8)),'p') -(11 * (1 - p)^10-11 * p * (10 * (1 - p)^9) - 11 * (1 - p)^ 10 + (55 * (2 * p) * (1 - p)^9-55 * p^2 * (9 * (1 - p)^8)) + (165 * (3 * p^2) * (1 - p)^8-165 * p^3 * (8 * (1 - p)^ 7))) > derg_p<-function(p){ + -(11 * (1 - p)^10-11 * p * (10 * (1 - p)^9) - 11 * (1 - p) ^ (55 * (2 * p) * (1 - p)^9-55 * p^2 * (9 * (1 - p)^8)) + + (165 * (3 * p^2) * (1 - p)^8-165 * p^3 * (8 * (1 - p)^ 7)))} > curve(derg_p,0,1) > # Za p iz (0,1) je derivacija od f_p strogo negativna, pa f_p strogo pada, a derivacija od g_p je strogo pozitivna, pa g_p strogo raste. Dakle, f_p i g_p su injekcije na (0,1). > # 16.Procijenimo 90% pouzdani interval za parametar p: > f_ppom<-function(p){ + suma<-(1-p)^11+11*p*(1-p)^10+55*p^2*(1-p)^9+165*p^3*(1-p)^8+ 330*p^4*(1-p)^7-0.1/2} > rj1<-uniroot(f_ppom,c(0.0,1.0))$root > rj1 [1] > g_ppom<-function(p){ + suma<-1-((1-p)^11+11*p*(1-p)^10+55*p^2*(1-p)^9+165*p^3*(1-p) ^8)-0.1/2} > rj2<-uniroot(g_ppom,c(0.0,1.0))$root > rj2 [1] > # Budući su f_p i g_p injekcije na (0,1), onda gornje jednadžbe imaju jedinstveno rješenje i Dakle procjena 90% pouzdanog intervala za p je [ , ] > 6