Решение простейших балок по методу конечных элементов (МКЭ) Свободно-опертая одним и жестко-защемленная другим концом балка, нагруженная моментом на опоре M L M = кн м L = м Исходные данные: EI = 7 кн м В качестве конечного элемента (КЭ) используется элемент плоской рамы, учитывающий изгиб и сдвиг. u u Матрица жесткости конечного элемента плоской рамы /L 3 6/L -/L 3 6/L 6/L 4/L - 6/L /L k ij = EI -/L 3-6/L /L 3-6/L 6/L /L - 6/L 4/L
Основное уравнение МКЭ R = k q R R Μ Μ R /L 3 6/L -/L 3 6/L U M 6/L 4/L - 6/L /L = EI X R -/L 3-6/L /L 3-6/L U M 6/L /L - 6/L 4/L Расчетная схема Вектор перемещений конечного элемента q =
Составляется уравнение равновесия для узла : строка матрицы жесткости (МЖ), соответствующая неизвестному перемещению ( -я ), умножается на вектор перемещений КЭ, примыкающий к данному узлу EI[ 6/L + 4/L - 6/L + /L ] = -M 4EI /L = -M = -M L / 4EI = - = - Определяем перерезывающие силы и изгибающие моменты для КЭ: результат умножения матрицы жесткости КЭ на соответствующий вектор узловых перемещений: R /L 3 6/L -/L 3 6/L M 6/L 4/L - 6/L /L -,5/EI = EI X R -/L 3-6/L /L 3-6/L M 6/L /L - 6/L 4/L R = 6EI /L (-,5/EI) = -,5/ L = -,5 кн M = 4EI /L (-,5/EI) = -/ L = -, кн м R = -6EI /L (-,5/EI) =,5/ L =,5 кн M = EI /L (-,5/EI) = -,5/ L = -,5 кн м При построении эпюр для перерезывающей силы изменяем знак в начале КЭ, а для изгибающего момента в конце КЭ, так как направления этих внутренних сил в МКЭ противоположно правилам сопротивления материалов. 3
M L,5 Q, кн,5 M, кнм,5 -, 4