Lecture 4 Branch & cut algorithm
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1 Lecture 4 Branch & cut algorithm 1.Basic of branch & bound 2.Branch & bound algorithm 3.Implicit enumeration method 4.B&B for mixed integer program 5.Cutting plane method 6.Branch & cut algorithm Slide 1
2 -Basic of branch & bound- (BASIC)
3 Discrete optimization problem Consider (P 0 ) minimize f(x) s.t. x X 0 ( Z n ) Slide 2
4 Algorithm of branch and bound Step 1. z=+, η={p 0 } Step 2. If η=φ then finish the algorithm Step 3. Select P k from η and η= η {P k }. Step 4. Solve relaxation problem for P k Step 5. Pruning Step 6. Branching η=η {P p, P q,p r } return to Step 2. branching relaxed problem pruning Slide 3
5 Restriction (1) Consider a feasible solution x. Relaxation problem (P k ) for (P k ) Min f(x) s.t. x X k (X k X k ) The optimal value z k for (P k ) provides a lower bound for (P k ). If z k f(x), no further need to search P k (termination condition) Slide 4
6 Relaxed problem constraint relaxation eliminate constraints continuous relaxation eliminate 0-1 binary constraints LP relaxation eliminate integer constraints Lagrangian relaxation eliminate constraints and embed it into the objective function multiplied with Lagrangian multiplier Slide 5
7 Branching If the problem (P k ) cannot be solved directory Feasible solution X k is divided as into a set of disjoint subsets X p,,x q Generally, restrict feasible space as X l = X k B k,l For 0-1 integer programs, we always use B k,l ={x R n x j = 0}, {x R n x j = 1}. Slide 6
8 Example of branch & bound max. 3x 1 + x 3 +2x 4 s. t. 2x 1 +x 3 +3x 4 4, x 1, x 3, x 4 {1, 0} (14/3; 1, 0, 1, 1/3) P2 max. 3x 1 + x 3 s. t. 2x 1 +x 3 4, x 1, x 3 {1, 0} (4; 1, 0, 1, 0) P1 P0 x max. 3x 1 +4x 2 +x 3 +2x 4 s. t. 2x 1 +3x 2 +x 3 +3x 4 4, x 1, x 2, x 3, x 4 {1, 0} (17/3; 1, 2/3, 0, 0) P4 x x P3 max. 3x 1 + x 3 +2 s. t. 2x 1 +x 3 1, x 1, x 3 {1, 0} (7/2; 1/2, 0, 0, 1) max. 3x 1 +x 3 +2x 4 +4 s. t. 2x 1 +x 3 +3x 4 1, x 1, x 3, x 4 {1, 0} (11/2; 1/2, 1, 0, 0) integer solution is foundsolution of relaxed problem is not better Intelligent than tentative Mathematical integer solution is found Slide 7 solution and better than tentative solution Tentative solution :(4; 1, 0, 1, 0) P5 max. x 3 +2x 4 +4 s. t. x 3 +3x 4 1, x 3, x 4 {1, 0} (5; 0, 1, 1, 0) tentative:(5; 0, 1, 1, 0) P6 infeasible
9 -Branch and bound- (APPLICATION) Slide 8
10 General algorithm of branch and bound for mixed-integer programs Mixed Integer Linear Programming Problem commercial solver: CPLEX(ILOG), XPRESSMP, LINGO etc. freeware: LP SOLVER ( Min s. t. continuous relaxation Slide 9
11 Construction of enumeration tree If the solution for continuous relaxation problem (C 0 ) is not integer, Generate (P 1 ): impose bounding constraints for integer variable y s. (P 2 ): impose bounding constraints for integer variable y s Slide 10
12 Enumeration tree P 0 /C 0 node k P 1 /C 1 P 2 /C 2 node N+1 node N+2 P 3 /C 3 P 4 /C 4 LP problem with different upper /lower value for y s dual simplex can be applied Slide 11
13 Basic algorithm Step 1 Step 2 Step 3 Step 4 Step 5 Step 6 Initialization z=+, η=φ, solve C 0. η=η {P 0 } Selection of branching node If η=φ go to Step 6. Otherwise η=η {P k } Selection of branching variable Select a branching variable y s from a solution of (C k ) and generate subproblems (P N+1 ), (P N+2 ) Solve continuous relaxation of subproblems (C N+1 ), (C N+2 ). Pruning Pruning is executed for all of branching, and return to Step 2. Finish the algorithm Slide 12
14 Example 1 Consider the problem to determine 5 items of products from 100m materials. Each item has to be produced one. The wasted product after cutting products is scrapped. The scrapping cost is 5000 yen/ 1m. Determine products to maximize the total profit. Length Profit P P P P P Slide 13
15 Formulation Let y j be decision variable that takes 1 if product j is produced and 0 otherwise. Max s. t. product is produced otherwise
16 Strategy for B&B algorithm Technique for reducing enumeration tree (1) Selection of branching value select a variable that makes effects on objective function and other variables (2) Selection of branching node depth first search lower bound priority (3) Branching computation which continuous relaxation problem should be solved first? Slide 14
17 Selection of branching value Lower bound first search merit: possibility to generate good solution is high demerit: enumeration tree is larger Depth first search merit: computation time to generate feasible solution is short. Feasible solution may prune a number of possible nodes. demerit: performance is not better. In practical,integrating two search is adopted. If several branching nodes are obtained, the node is selected by lower bound first search. If further branching is stopped during a feasible solution can not be obtained, depth first search is executed. Slide 16
18 Current computational power (0-1)(mixed integer)integer problem: - 3,000 variables: a few minutes to a few hundred min. - 6,000 variables:a few hours to a few hundred hour. - More than 10,000 variables:impossible for many cases! integer programming with nonlinear terms: - primitive algorithm is adopted. Difficult to converge - efficiency depends on the form of nonliner term - Difficult problem: maximization of convex function Limit :100~1,000 variables Slide 17
19 Free software LP_SOLVE Slide 18
20 Basic of cutting plane algorithm Slide 19
21 Discrete optimization problem (P) Min. z=c T x s. t. Ax=b x 0, x Z Relaxed problem (P) Min. z=c T x s. t. Ax=b Eliminate integer constraint x 0 Slide 20
22 Cutting plane algorithm optimal solution cut 2 relaxed problem Integral polyhedra cut 1 Slide 21
23 Cutting plane algorithm(1) is an optima solution for relaxed problem C. If satisfied constraints of (P), the solution is also optimal for original problem (P). If generate an inequality to eliminate solution. Slide 22
24 Cutting plane algorithm(2) valid inequality an inequality that satisfies all feasible solution for original problem where is called as valid inequality for Cutting plane(cut) An inequality eliminates feasible region for the problem P. We call the inequality as cutting plane (cut) Slide 23
25 Cutting plane algorithm(3) In general, cuts are generated to eliminate feasible region for the original problem. Cutting plane algorithm solves successively the relaxed problem by imposing inequalities when If a solution for the new relaxed problem, satisfies,the solution is optimal for original problem P. Slide 24
26 Basic cut IP: min. s. t. LP relaxation: min. s. t. optimal basis and non-basis optimal base solution is given by If B 1 b is integer vector: is optimal for IP If the ith component of B 1 b is not integer Generate cut to eliminate : Slide 26
27 Basic cut IP: max. c T x s. t. Ax=b, x Z +n. Basis and nonbasisa= B N, x T =(x BT x T N ) Feasible solution Bx B +Nx N =b x B =B 1 b ー B 1 Nx N x*=(x BT x T N )=((B 1 b) T 0 T ) If the ith element of B 1 b is not an integer, generate a cut : x* ith component of x B =B 1 b ー B 1 Nx N is as follows. x i =β i -(α m +1x m +1 +α m +2x m +2+ +α n x n ) Notice that β i is not integer. Gomory cut: x i +[α m + 1] x m [α n ] x n [β i ] Cut is eliminating (x i, x m +1,..., x n )=(β i,0,...,0) Slide 27
28 IP: min. s. t. Optimal basis Gomory の小数法 x B =B 1 b ー B 1 Nx N x*=(x BT x NT )=((B 1 b) T 0 B 1 bの第 i 要素が整数でない : を切り取るcutを生成 x B =B 1 b ー B 1 Nx N のi 番目の式 : x i =β i -(α m +1x m +1 +α m +2x m +2+ +α n x n ) (1) T ) Gomory cut: x i +[α m + 1] x m [α n ] x n [β i ] Introduce non-integer slack variable s x i + s =[β i ] -( [α m + 1] x m [α n ] x n )-----(2) (2)-(1) is imposed under x B =B 1 b ー B 1 Nx N s = ( [β i ] -β i )-( ( [α m + 1] ー α m +1) x m ( [α n ] ー α n ) x n ) Slide 28
29 Numerical example subject to : non-integer Use slack Slide 29
30 Numerical example LP problem is solved by Simplex algorithm. Basic optimal solution real Slide 30
31 Generate a cut for Numerical example s = ( [β i ] -β i )-( ( [α m+ 1 ] ー α m+1 ) x m+1 + +( [α n ] ー α n ) x n ) より This cut is imposed and the new LP problem is solved by dual simplex. The solution is Lower bound is improved from -17/2 to -15/2. Slide 31
32 Gomory s cutting plane The cutting place proposed by Gomory (1958) has difficulty in generating a number of iterations. Because it is not effective for practical problem, branch and bound replaced by cutting plane has received much attention. However, effective cuts are studied in order to enhance the performance of branch and bound algorithm. Recently, cutting plane is promising because the algorithm is integrated with branch and bound as branch & cut. Gomory cut is now also used for many commercial software.
33 Application (branch & cut)
34 Branch & cut algorithm IP: max. c T x s. t. Ax=b, x Z +n. Solve continuous relaxation. problem If the integer solution is obtained for relaxed problem, the solution is optimal. If the solution is not integer, Gomory cut is imposed to the relaxed problem. Important point for branch & cut algorithm Heuristic algorithm to generate effective cuts.
35 分枝カット法の基本アルゴリズム Step.1 Initialization Lを未処理の子問題リストとする.L={MIP}, 暫定値を z=- として初期化する. Step.2 Completion evaluation L=φならば暫定解を出力し終了する. Step.3 Selection of subproblem 子問題 (MIP k ) をLから選択しLから消去する. Step.4 Evaluation of subproblem 現在のカットをMIP k に追加する. Step 4-1. Solve LP relaxation problem. 得られた緩和解が現在の解よりも悪い, または実行可能解が存在しない場合はStep.2へ緩和解が実行可能解であれば, 現在の解を更新しStep.2へ Step 4-2. Cut generation. 問題の最適解を削除するカットを生成する. もし見つかれば (MIP k ) に追加し, 現在のカットに保持し, Step 4-1へ. 見つからなければStep.5へ Step.5 Branching 子問題 (MIP k ) を複数の子問題に分割し,Lに追加する.Step2に戻る
36 Recent study on this topics convex polyhedra for mixed integer program minimum convex set including all feasible solution for MIP If valid inequalities to determine maximum facet for convex polyhedra is obtained, it can be used as strong valid inequalities Cut for general problem disjunctive cut, lift-and-project cut, benders cut Cut for specific problem 0-1 Knapsack polytope, Symmetric TSP, bin packing problem etc.
今日の予定 1. 展開図の基礎的な知識 1. 正多面体の共通の展開図. 2. 複数の箱が折れる共通の展開図 :2 時間目 3. Rep-Cube: 最新の話題 4. 正多面体に近い立体と正 4 面体の共通の展開図 5. ペタル型の紙で折るピラミッド型 :2 時間目 ~3 時間目
今日の予定 このミステリー (?) の中でメイントリックに使われました! 1. 展開図の基礎的な知識 1. 正多面体の共通の展開図 2. 複数の箱が折れる共通の展開図 :2 時間目 3. Rep-Cube: 最新の話題 4. 正多面体に近い立体と正 4 面体の共通の展開図 5. ペタル型の紙で折るピラミッド型 :2 時間目 ~3 時間目 Some nets are available at http://www.jaist.ac.jp/~uehara/etc/origami/nets/index-e.html
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