MATH 132 PRACTICE FINAL EXAM (solutions) FALL 2010

Transcription

1 MATH 32 PRACTICE FINAL EXAM (solutions FALL 200 Evaluate / sin(x cos(x dx. / EÑ FÑ GÑ / HÑ / IÑ/ JÑ KÑ/ LÑ / MÑ/ solution: (? œ=3ðbñß.?œ-9=ðbññ œ /?.?œ/? l œ / ÐHÑ 2 Evaluate B=3ÐBÑ.B È È EÑ FÑ GÑ HÑ IÑ JÑ KÑ LÑ MÑ NÑ solution: (? œ Bß.@ œ =3ÐBÑ.Bß.? œ -9=ÐBÑ B-9=ÐBÑ -9=ÐBÑ œ B-9=ÐBÑ =3ÐBÑ l œ ÐHÑ -- 3 Find a solution for the integral BÐBÑ.B. B B È EÑ +<->+ÐBÑ FÑ ÐB Ñ GÑ 6 l BÐB Ñ l HÑ 6lBl + 6lB l IÑ 6 l l JÑ+<-=3ÐB Ñ KÑ B LÑB ÐB Ñ MÑ B ÐB Ñ N Ñ 6 l BÐB Ñ l solution: œ Ð partial fractions..b œ.b.b œ BÐBÑ B B BÐBÑ B B B B l G ÐIÑ 6lBl 6lB l œ 6l ---.B È B Ñ Find what becomes of the integral ß substitution x = tan(, B when you make the EÑ =/-Ð Ñ. FÑ =/-Ð Ñ. GÑ =/-Ð Ñ. HÑ È>+Ð Ñ. IÑ =/- Ð Ñ. J Ñ =/- Ð Ñ. KÑ >+Ð Ñ. LÑ >+ Ð Ñ. MÑ È >+ Ð Ñ. N Ñ =/- Ð Ñ. solution: ( x = tan( ß. x = =/- (. Ñ œ =/- ( =/-. œ ( È. œ >+ Ð Ñ =/-( =/-Ð Ñ. ÐEÑ

2 5 Find the area of the region(s enclosed by f(x = ( x Ñ +. gðbñ œ B EÑ FÑ GÑ HÑ IÑ JÑ KÑ LÑ MÑ NÑ 2. ( * solution: CœÐB Ñ is a parabola with vertex at (,0, opening upward, and the line Cœ B intersects the parabola at the points (0, and (,0, and is on top. Then we get Eœ Ð BÑ ÐB Ñ.B œ ÐJ Ñ Find the volume of the solid you get by rotating the region enclosed by the curve B = ÈC ß the lines C œ +. B œ, about the y-axis. FÑ GÑ HÑ IÑ JÑ KÑ LÑ MÑ NÑ A ( * solution: The curve B = ÈC intersects B œ at (0,0, and C œ at (2,4. Using the disc method, for each ŸCŸßthe line perpendicuar to the C +B3= has length B= ÈC, and when we rotate it about the C +B3=, we get a circle of radius ÈC. Then we get, EÐCÑ œ Cß and Z œ C œ ÐMÑ Find the volume of the solid whose base is the region in the x-y plane, bounded by the parabola y = 4 x and the line y = 0, given that A( C, the cross section perpendicular to the y-axis, for each 0 Ÿ y Ÿ 4, is an equilateral triangle with the base being a line segment, perpendicular to the y-axis, with endpoints on y = 4 x. ( +</+ of an equilateral triangleßhaving side lengths, b, is given by E œ, Ñ A È B 2 È G 3 È HÑ 4 È IÑ 5 È J Ñ 6 È KÑ 7 È LÑ È IÑ 9È NÑ 0È solution: For each 0 Ÿ y Ÿ 4, the cross section is an equilateral triangle with each side having length,œbœ È È CThen EÐCÑœ Ð È CÑ œ È Ð CÑ Then Z œ È Ð CÑ œ È ÐLÑ --- Î Ñ Find the length of the curve B œ > ß C œ Ð> Ñ from > œ to > œ A FÑ GÑ HÑ IÑ J Ñ KÑ LÑ MÑ N Ñ solution: œ>ß œ Ð> Ñ ß ÉÐ Ñ Ð Ñ œ È> > Then the.b.b.>.>.>.> È > length is ß 6 œ Ð> Ñ.> œ Ð> Ñ.> œ Ð >Ñ l œ ÐJ Ñ È

3 3. 9 Determine whether the improper integral È B.B converges, and if so determine its value. A 0 B 2 C HÑ IÑ È ( JÑ KÑ LÑ MÑ NÑ.3@/</=, solution:, Ð BÑ œ Ð BÑ l œ Ð Ð,Ñ Ñ.B œ lim Ð Ð,Ñ Ñ œ œ ÐHÑ È B,Ä Ñ A force of 20 N is required to hold a spring that has been stretched from its natural length of 00 cm to a length of 50 cm. How much work, in J, is done in stretching it from 50 cm to 200 cm? A B * C D E F ( G * H 2 MÑ N Ñ solution: Given that J ( œ œ 5 Ê 5 œ ß J ÐBÑ œ B Then the work is [ œ B.B œ B l œ Ð ÑœN ÐIÑ > Find the solution to the initial value differential equation œ >C ß CÐÑ œ >Î > EÑ C œ Ð> Ñ FÑ C œ / GÑ C œ Ð> È Ñ HÑ C œ / > IÑC œ Ð> Ñ JÑC œ >/ KÑ C œ Ð> Ñ > Î LÑCœ / I ÑCœ=3Ð>Ñ NÑC œ -9=Ð>Ñ solution: G > C œ >.> Ê 6lClœ > G Ê lcl œ / / From CÐÑ œ ß G / œ ß and C œ / > ÐC ß CÐÑ œ since, and C Á Ñ ÐLÑ Find the sum of the eometric series * EÑ FÑ GÑ HÑ IÑ J Ñ KÑ LÑ MÑ N Ñ ( ( ( solution: = 3( Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ñ œ œ ( ÐFÑ Ð Ñ Find the sum of the infinite series œ EÑ FÑ GÑ ( HÑ IÑ J Ñ KÑ LÑ MÑ N Ñ =/<3/=.3@/</= solution: = œ œ œ ÐLÑ œ œ

4 3. B œ 4 If B cos( = - B Ð3>=Q+-6+?<3=/<3/=Ñ, then find c EÑ FÑ GÑ HÑ IÑ JÑ KÑ LÑ MÑ NÑ B B B Ð Ñ Ð Ñ B B solution: -9=Ð Ñ œ x x œ Then B cos( B B B œ B Then we get - œ ÐKÑ 5 Find the function whose Maclaurin series is B *B (B B ß B *B EÑ =3ÐBÑ FÑ -9=Ð*BÑ GÑ 6Ð BÑ HÑ / IÑ B JÑ KÑ LÑ MÑ >+ ÐBÑ NÑ>+ Ð*BÑ *B B *B B ß solution: Plug in 3x for x, in the Maclaurin series for power series. The solution is B ÐIÑ and you get the above 6Ñ Find the coeficient - of ( x Ñ in the Taylor series for the function f(x = cos(x at a = A 0 B È È GÑ HÑ IÑ JÑ KÑ LÑ È È È MÑ NÑ ÐÑ 0 Ð Ñ =3Ð Ñ solution: - œ œ œ œ ÐHÑ x Find the Taylor series for f(x = B B centered at + œ EÑ ÐB Ñ ÐB Ñ FÑ ÐB Ñ ÐB Ñ GÑ ÐB Ñ ÐB Ñ HÑ ÐB Ñ ÐB Ñ IÑ ÐB Ñ ÐB Ñ J Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ KÑ (ÐB Ñ ÐB Ñ LÑ (ÐB Ñ ÐB Ñ MÑ ÐB Ñ ÐB Ñ JÑ ÐB Ñ ÐB Ñ w w solution: 0ÐÑœß - œ 0ÐBÑœ Bß 0 ÐÑ œ (ß - œ ( ww ww ÐÑ 0 ÐBÑœß 0 ÐÑœß - œ œ0 ÐBÑœß for all n 3, so c œß for all n 3 Then Taylor series is XÐBÑ œ (ÐB Ñ ÐB Ñ ÐKÑ

5 Ñ If - B is the Maclaurin series of =/-ÐBÑß then find œ 5. ÐÑ ( Use the formula for getting c from 0 Ð+Ñ.. EÑ FÑ GÑ HÑ IÑ JÑ KÑ LÑ MÑ NÑ w ww ww solution: 0 ÐBÑ œ =/-ÐBÑ >+ÐBÑß 0 ÐBÑ œ =/-ÐBÑ >+ ÐBÑ =/- ÐBÑ ß 0 ÐÑ œ ß 0wwÐÑ - œ œ ÐEÑ x If T (x is the third degree Maclaurin polynomial of the function f(x = sin(x, B ( i.e. T 3 (x œb x ß then use the Alternating Series Estimation Theorem, to find an estimate of the error, in computing Î 4 sin(x dx, by using Î T 3 (x dx. EÑ FÑ GÑ HÑ IÑ JÑ KÑ LÑ MÑ NÑ B B Î solution: =3ÐBÑ œ B x x. Using the Maclaurin series, 4 sin(x dx œ Î 4 B B B B B ÐB Ñ dx œ l Î œ x x ( ( /4 ( /4 ( /4 Î ( /4 ( /4 ( /4 2 24, the sum of the first 2 terms, so the error 720 ~ This is an alternating series, and T ÐBÑ dx = Ÿ ÐIÑ 20 Find the term c in the Maclaurin series of f(x = B EÑ FÑ GÑ HÑ IÑ JÑ KÑ LÑ MÑ NÑ - B=3ÐBÑ B B B B x x x x solution: =3ÐBÑ œ B., B =3ÐBÑ œ =3ÐBÑ œ. B=3ÐBÑ B B x x x œ Then - œ œ ÐMÑ