() {O, te(- 00, C) (1.3) x= x - t; namely. Turinys. Geometrinės diferencialinių lygčių teorijos savokos. Pavyzdžiai

Transcription

1 Geomerinės diferenialinių lygčių eorijos savokos 3 paskaia Olga Šikonienė Diferenialinių lygčių ir skaičiavimo maemaikos kaedra, MIF VU Turinys In his haper we illusrae he qualiaive approah o differenial equaions and inrodue some key ideas suh as phase porrais and qualiaive equivalene 1 Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija 11 PRELIMINARY IDEAS Diferenialinės lygies krypčių laukas 111 Exisene and uniqueness 2 Definiion Vekoriniai 111 ir krypčių laukai Le X Fazinė (, x) beerdvė a real-valued funion ofhe real variables and x, wih domain Fazinis porreas D S; 1R 2 A funion x(), wih in some open inerval Is; IR, whih saisfies dx x() = d = X(,x()) (11) Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija Diferenialinės lygies sprendiniai Tegul f yra olydi funkija, aprėža sriyje D R 2 (f C(D)) Nagrinėkime 1 eilės DL ẋ = f (, x()), (, x) D Funkija ϕ : I R, yra DL sprendinys inervale, jei ϕ C 1 (I); Taškas (, ϕ()) D, I; ϕ() f (, ϕ()) Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija 1 eorema (Egzisavimas) Jei funkija f C(D), ai ( 0, x 0 ) D oks lygies ẋ = f (, x) sprendinys x() I, kad 0 I ir x( 0 ) = x 0 Pavyzdys ẋ = 2 x 1 2, D = R 2 x 0 0 ( 0, x 0 ) galima užrašyi kaip ( 0, x( 0 )), čia x() yra sprendinys: { 0, (, C); x() = ( C) 2 ( ) C =, (C, + ) 0 x 0 Analogiškai galima rasi sprendinį, einani per aška ( 0, x 0 ), kai x 0 0 { ( C) x() = 2, (, C); 0, (C, + ) Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija 2 eorema (Vienais) Jei funkija f C(D) ir f x C(D), ai duoam aške ( 0, x 0 ) D ir vieninelis oks lygies ẋ = f (, x) sprendinys x(), kad x( 0 ) = x 0 Pavyzdžiai 1 f (, x) = 2 x 1 2 C(D), D = R 2, be { f x = x 1 2, x > 0; f x 1 2, x < 0 x C(D ), D = {(, x) x 0} y per aška ( 0, 0), 0 R eina be galo daug sprendinių 2 f (, x) = x f x = 1 f, f x C(R2 ) aškas ( 0, x 0 ) priklauso ik vienam DL ẋ = x sprendiniui: x() = Ce, čia C = (x 0 0 1)e 0 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 > > is said o be a soluion of he differenial equaion (11) A neessary ondiion for x() o be a soluion is ha (, x ())ed for eah el; so ha D limis he domain and range of x() If x(), wih domain I, is Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 a soluion o (11) hen so is is resriion o any inerval J I To preven any onfusion, we will always ake I o be he larges inerval for whih x() saisfies (11) Soluions wih his propery are alled maximal soluions Thus, unless oherwise Įvadas į kokybinę saed, paprasųjų we DL will eorijuse a he word 'soluion' o mean 'maximal Pavyzdžiai soluion' Consider he following examples of(11) and heir soluions; we give x = X(,x), D, x(), I Sprendinio egzisavimas apibrėžiamas funkijos f savybemis: in eahdl, ase sriis (C and D, C' sprendinys are real numbers): ϕ(x), apibr sriis I 1 x= x -, 2 x= x 2, 2 Inroduion 3 x= -x/, {(,x)l,eo}, 4 x = 2x 1/2, {(, x)lx ~ OJ, 1+ + Cel, IR; (C-)-l, (-oo,c) 0, IR (C'-)-, (C',oo); CI, (- 00,0) C'I, (0, (0); O, {( - C)2, 0, (- 00,C) [C,oo) IR', 5 x = 2x, 1R 2, Ce,2, IR; 6 x= -x/anh, {(,x)l,eo}, Clsinh, (-00,0) C'/sinh, (0, (0) Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 The exisene of soluions is deermined by he properies of X The following proposiion is saed wihou proof (Perovski, 1966) Proposiion 111 If X is oninuous Įvadas į kokybinę in an paprasųjų opendldomain, eorija D's;;; D, hen given any pair (o, xo)ed', here exiss a soluion x(), el, of x = X(, x) suh ha oei and x(o)= Xo' For example, 6 onsider x 4 x=2ixi I/2, (12) where D = 1R 2 2 Any pair (o, xo) wih Xo ~ is given by (o, x(o)) whe:n x() is he soluion K4 K K2 K4 () {O, e(- 00, C) (13) x = (-Cf, e[c,oo) and C = o -,Jxo A soluion an similarly be found for pairs (o,xo) when K6 xo<o Observe ha Proposiion 111 does no exlude he possibiliy ha DL x(ẋ o = ) 2 x Xo 1 2 for, more D = Rhan 2 sprendinio one soluion grafikas x() For example, for (12) ijllfiniely Pasaba many soluions 1 eorema x() neeliuminuoja saisfy x(o)= 0; avejį, namely kaievery x( 0 ) = soluion x 0 daugiau, of henei form (13) vienam for whih sprendiniui C > o and x() soluion x() == 0 Pvz, The pradinę following salyg proposiion a x( 0 ) = 0gives enkina a suffiien be galo daug ondiion sprendinių: for eah pair in D' o our in one and only one soluion of (11) be koks sprendinys (**) su C > 0 ; Proposiion x() If X and ox/ox are oninuous in an open domain D's;;; D, hen given any Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 (o, xo)ed' here exiss a unique soluion x() ofx = X(, x) suh ha x(o) = Xo Noie ha, while X = 21xl 1/2 is oninuous on D( = 1R 2 ), ox/ox( =: Ixl- 1/2 for x> and -lxl- 1/2 for x < 0) is oninuous only on D' = {(,x)lx,e OJ; Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija i is undefined for x = 0 We have already observed ha he pair (o, 0), oelr ours in infiniely many soluions of x= 21x1 1/2 Rasime On he DLoher y = hand, 3y 2/3 inegralinę X(,x) =x -kreivę, and ox/ox einanči = a 1are per ašk oninuous a (1, 1) hroughou Aiinkamas he domainkoši D = (pradinis) 1R 2 Any uždavinys (o, xo) ours yra in one and only one soluion of x= x - ; namely y = 3y x() 2/3, y(1) = 1 = 1+ + Ce' (14) when C = (xo- o - l)e- lo Paikriname, kad funkija y = (x C) 3 yra DL sprendiniai Įsaome pradines salygas: 1 = y(1) = (1 C) 3 C = 0 (kios šaknys yra kompleksinės) Vadinasi, šis Koši uždavinys uri sprendinį y = x 3 Remianis 2 eorema daugiau inegralinių kreivių, einančių per šį aška, nėra Ṙasime inegralinę kreivę, einanči a per aška (0, 0) Per šį aška eina jau rasa inegralinė kreivė y = x 3, ir dar viena papildoma inegralinė kreivė y 0 Vadinasi, šiuo aveju, Koši uždavinio sprendinys nėra vieninelis, ir šis aškas nepriklauso DL sprendinio vienaies sričiai Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48

2 Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija Geomerinė inerpreaija Krypčiū laukas Nagrinėsime DL ẋ = f (, x), f C(D), D R 2 1)ẋ = x 2)ẋ = x/, 0 3)ẋ = /x, 4)ẋ = 1 2 (x2 1) 5) ẋ = 2x 6)ẋ = x/ anh, 0 7)ẋ = 1 x 2, x 1, 8)ẋ = 2x 1 2, x 0 Inegralinių kreivių kokybinį vaizda pilnai nusako DL dešinioji pusė Karais pavaizduoos inegralinės kreivės yra panašios (2 ir 6 pav) Tokios inegralinių kreivių šeimos yra kokybiškai ekvivalenčios Sprendinio vienaies nėra 7 ir 8 pav Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Laisvai pasirinkam aškui (; x) D priskirkime iese su krypies koefiienu k = f (; x); einania per šį aška Tiksliau, per aška (; x) brėžiame nedidele akarpėle su krypies koefiienu k: Jeigu kiekvienam aibės D aškui yra priskira krypis (iesė), uome sakysime, kad aibėje D yra apibrėžas krypčių laukas Pasaba Norin geriau avaizduoi krypčių lauka brėžiniuose, braižoma ik nedidelė iesės dalis aško aplinkoje Mes nagrinėsime olydžiai diferenijuojamus krypčių laukus, kurių krypys olydžiai priklauso nuo aško padėies Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija ApibrėžimasKreivė, kuri kiekviename savo aške liečia ame aške esančia krypį vadinama inegraline kreive PasabaŽodis inegralinė kreivė asirado isoriškai, nes kai kuriais paprasčiausias avejais šias kreives galima rasi inegruojan Nagrinėkime olydų krypčių lauka plokšumoje Lauka vadinsime invarianišku posūmio duoaja krypimi ažvilgiu, jei kiekvienos iesės, kuri yra lygiagrei duoajai krypčiai, aškuose krypčių lauko krypys vienodos Lauka vadinsime neverikaliuoju krypčių lauku, jei egzisuoja iesė, kuriai nelygiagrei jokia krypčių lauko krypis Visada galima parinki koordinačių sisema, kurioje ši iesė suapų su ordinačių ašimi x, o absisių ašis būų horizonali TeoremaSakykime, plokšumoje duoa krypis, kurios ažvilgiu krypčių laukas yra invarianiškas ir neverikalus Tada okio krypčių lauko inegralinės kreivės randamos inegravimu Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija Kreivė x = ϕ() yra inegralinė duoojo neverikalaus invarianiško krypčių lauko kreivė, ada ir ik ada, jeigu dϕ() v(), (1) d ir ji randama Barou formule ϕ() = v()d + C (2) Lygies x = v() krypčių laukas Analogiškai gauume, kad geomerinis neverikalaus krypčių lauko v(, x) inegralinės kreivės radimo uždavinys analiziškai užrašomas kaip DL dx() = v(, x), (3) d ir eisinga eorema: Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija Be kokia DL ẋ = v(, x), v C(D) apibrėžia neverikalųjį krypčių lauka: aške (, x) imama krypis, kurios kampo su absisių ašimi angenas lygus v(, x) Toks krypčių laukas vadinamas funkijos v krypčių lauku arba ẋ = v(, x) lygies krypčių lauku Jeigu norime gaui kokybinį inegralinių kreivių vaizda (porrea), nebūina išspręsi DL, pakanka nubraižyi inegralinių kreivių eskizus Braižan eskizus, labai paogu surasi kreives, kurių visuose aškuose yra a pai krypis Tokios kreivės vadinamos krypčių lauko izoklinėmis Izoklinės lygis yra v(, x) = k, k R (4) Teorema Funkijos x = ϕ() grafikas yra inegralinė kreivė, ada ir ik ada, kai visiems I eisinga (3) Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija Neverikalaus invarianiško lauko izoklinės yra verikalios iesės = k Taip pa naudinga surasi sriis, kuriose inegralinė kreivė iškila i viršų (ẍ < 0) arba į apačia (ẍ > 0), čia ẍ = dẋ dv(, x) = = d d v(, x) + v(, x) ẋ = x v(, x) + v(, x) v(, x) (5) x Nubraižysime DL ẋ = + /x inegralinių kreivių eskizus plokšumoje (, x), kai x 0 1 Šios DL izoklinės yra hiperbolės + /x = k x = k su asimpoėmis x = 1 ir = k Lygies x = v() krypčių laukas Lygies x = v(x) krypčių laukas k = 1 k = 2 x k = 1 k = 1 k = 2 k = 2 k = 2 k = 1 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48

3 Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija 2 Norėdami iksliau nubraižyi kreivių eskizus, randame inegralinės kreivės anraj a išvesinę ẍ = x 1 x 2 ( + (x + 1)(x )(x + ) ) = x x 3, ir pažymime jos eigiamumo ir neigiamumo sriis 1 x = x ω + ω ω ω + ω ω + ω ω ω + x = x = 1 3 Kadangi krypčių lauka apibrėžiani funkija yra nelyginė kinamojo ažvilgiu v(, x) = ( ) + ( )/x = v(, x), odėl pays sprendiniai yra lyginės funkijos Dabar pakankamai iksliai braižome inegralinių kreivių eskizus x x = 1 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Įvadas į kokybinę paprasųjų DL eorija Vekoriniai ir krypčių laukai Uždaviniai: 1 Nubraižysime DL inegralinių kreivių eskizus: a) ẋ = ; b) ẋ = sin ; ) ẋ = x ; d) ẋ = x/, 0; e) ẋ = /x, x 0; f ) ẋ = 1 2 (x2 1); g) ẋ = 1 x 2, x 1; h) ẋ = 2 x, x 0; i) ẋ = x(1 x); k) ẋ = x 2 ; l) ẋ = x 3 ; m) ẋ = x; n) ẋ = x 3 x; o) ẋ = x log x, x > 0; p) ẋ = x ; r) ẋ = x 2 2 Susipažinsime su geomerine DL prasme: vekoriniais ir krypčių laukais Įvesime fazinės ir išplėsinės fazinės erdvės, fazinės ir inegralinės kreivės savokas Iširsime paprasčiausias DL ir DLS vienmaėje erdvėje Evoliuiniai proesai Diferenialinėmis lygimis aprašomi evoliuiniai proesai, kurie pasižymi deerminizmu, baiginiu maavimu bei glodumu Deerminuou vadinsime okį proesa, kurio aeiį ir praeiį nulemia dabaris, y mes galime nusakyi ne ik dabarinę deerminuoo proeso būklę, be ir jo būklę be kuriuo laiko momenu iek praeiyje, iek aeiyje Aibė deerminuoo proeso būsenų vadinama fazine erdve Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Deerminuoas proesas Vekoriniai ir krypčių laukai Vieno aško judėjima rimaėje erdvėje pilnai apibrėžia rys jo koordinaės ir rys jo greičio komponenės Žinodami šiuos šešis paramerus konkrečiu laiko momenu, mes galime nusakyi judančio aško padėį be kuriuo momenu iek praeiyje, iek aeiyje Nedeerminuoi proesai Šilumos sklidimas yra pusiau deerminuoas proesas, nes mes galime nusakyi ik kaip pasiskirsys kūno emperaūra aeiyje, o apie šio proeso evoliuija praeiyje mes nieko negalime pasakyi Visiškai nedeerminuoi proesai yra Brauno judėjimas, kvaninių dalelių-bangų judėjimas, nes šiais avejais mes negalime nusakyi nei kaip proesas vysysis aeiyje, nei kaip jis vysėsi praeiyje Vekoriniai ir krypčių laukai Proesas vadinamas baiginio maavimo, jei jo fazinė erdvė aprašoma baiginiu skaičiumi paramerų, kurių reikšmės ir apibrėžia proeso būsenas Baiginio maavimo proesas Jei maerialus aškas juda iese, uome jo būsenai pilnai aprašyi pakanka 2 paramerų (koordinaės ir greičio), y fazinė erdvė yra dvimaė Trimaėje erdvėje okiam proesui apibūdini reikalingi 6 paramerai Jei nagrinėsime n aškų judėjima, ai jų fazinė erdvė bus 6n-maė (rys koordinaės ir rys greičio komponenės kiekvienam aškui) Nagrinėjan n kieų kūnų judėjima reikalinga 12n paramerų (kokie?) Begalinio maavimo proesai Norin aprašyi sygos virpesius, bangų sklidima reikalingas begalinis skaičius paramerų Tokius proesus nagrinėja lygčių dalinėmis išvesinėmis eorija Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Vekoriniai ir krypčių laukai Proesas vadinamas glodžiu (olydžiu, diferenijuojamu), jei jo fazinė erdvė uri glodžios daugdaros srukūra, o proeso būsenų kiima galima aprašyi glodžiomis (olydžiomis, diferenijuojamomis) funkijomis Glodus proesas Mehaninės sisemos koordinaės ir greičiai keičiasi kaip olydžiai diferenijuojamos funkijos Nediferenijuojami proesai Proesai, kuriuose vyksa rūkiai, smūgiai, glodumo savybe nepasižymi Tik eksperimeniškai su am ikru ikslumu galima nusayi, kad proesas yra deerminuoas, baiginio maavimo ir glodus Mes laikysime, kad visi nagrinėjami proesai uri šias savybes ir pilnai suampa su nagrinėjamais maemainiais modeliais Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Vekoriniai ir krypčių laukai Dažniausiai šiame kurse, fazinė erdvė bus sriis (jungi ir avira aibė) U R n Fazinės erdvės aškus vadinsime faziniais aškais Jeigu n-maėje fazinėje erdvėje įvesos koordinaės (x 1,, x n ), uome fazinį aška galime suapaini su erdvės R n ašku (x 1,, x n ) Dažnai paogu aško koordinaes surašyi į vekorių-sulpelį (n 1-maria) arba vekorių-eiluę (1 n-maria): x 1 x n = [x 1,, x n ] = (x 1 x n ), (x 1 x n ) Pasaba Užrašas su laužiniais skliauseliais varojamas norin aupyi viea ekse Pasaba Dažnai fazinius kinamuosius vienmaėje fazinėje erdvėje žymėsime x, dvimaėje (x, y), rimaėje (x, y, z) Paramera (laikas, kreivės ilgis) nuo kurio priklauso proesas dažniausiai žymėsime R = R Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48

4 Vekoriniai ir krypčių laukai Vekoriniai ir krypčių laukai Įvairias proeso būsenas aiinka fazinės erdvės aškai Proeso evoliuijos meu, jį apibūdinanis aškas keičia viea fazinėje erdvėje Glodiems proesams aško pėdsakas (fazinės erdvės aškai, kuriuose buvo fazinis aškas) fazinėje erdvėje apibrėžia fazinę rajekorija x(), I = ( 0 ; 1 ) Jeigu n-maėje fazinėje erdvėje įvesa koordinačių sisema (x 1,, x n ), uome fazinė rajekorija apibrėžiama glodžiomis funkijomis x 1 = x 1 (),, x n = x n () arba viena vekorine funkija x() = ( x 1 (),, x n () ) Fiksuooje koordinačių sisemoje šias komponenes galima surašyi į vekorių-sulpelį: x() = x 1 () x n () = [x 1 (),, x n ()] Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Vekoriniai ir krypčių laukai Vekoriniai ir krypčių laukai Fazinių rajekorijų šeimos vaizdas fazinėje erdvėje vadinamas faziniu porreu Fazinės erdvės savoka leidžia evoliuinių proesų yrima suvesi į geomerinio uždavinio apie fazines rajekorijas sprendima Fazinio aško judėjimo greiį fazinėje rajekorijoje apibrėžia pas aškas Vadinasi, kiekviename fazinės erdvės aške x 0 = x( 0 ) yra apibrėžas vekorius v(x 0 ), kuris dar vadinamas fazinio greičio vekoriumi v(x 0 ) = dx(), d =0 arba fiksuooje koordinačių sisemoje (x 1,, x n ), rašysime v 1 (x 0 ) v(x 0 ) = = [v 1 (x 0 ),, v n (x 0 )], v i (x 0 ) = dxi () v n d =0 (x 0 ) Fazinė rajekorija neaprašo fazinio aško priklausomybės nuo laiko, ačiau paprasai nurodoma, kokia krypimi vysosi evoliuinis proesas Rodykle fazinėje rajekorijoje žymima laiko didėjimo krypis Norėdami pavaizduoi, kaip proesas evoliuionuoja laiko ažvilgiu, naudosime išplėsinę fazinę erdvę R U, kuri yra laiko ašies ir fazinės erdvės Dekaro sandauga Tada grafikas (, x()) bus kreivė (n + 1)-maėje erdvėje ir pilnai apibrėš fazinio aško priklausomybę nuo laiko Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Vekoriniai ir krypčių laukai Pagrindinis PDL eorijos uždavinys ir yra iširi evoliuinio proeso kiima fazinio greičio vekoriniame lauke Prie svarbių klausimų galima priskiri fazinių rajekorijų pobūdį: - koks jų pavidalas, - ar fazinės rajekorijos lieka aprėžoje sriyje, - ar jos yra periodinės (uždaros), - ar jos nueina į begalybę ir Bendruoju aveju, aip suformuluoas uždavinys am ikra prasme neišsprendžiamas Paprasčiausiais avejais šį uždavinį galima išspręsi inegruojan Skaiiniais meodais visada galima rasi DL sprendinį baiginiame inervale Tačiau aip mes negalime gaui globalaus kokybinio vaizdo (fazinio porreo) Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Vekoriniai ir krypčių laukai Vienareikšmis avaizdis l : M V, kurio apibrėžimo sriis suampa su M dar vadinamas lauku Skaliarinis laukas Jeigu kiekviename aibės aške apibrėžas skaliaras (pvz, emperaūros reikšmė), uome oje aibėje urėsime skaliarinį lauka Sakysime, kad aibėje M apibrėžas glodus vekorinis laukas, jeigu kiekvienam aibės M aškui priskiras vekorinės (iesinės) erdvės R n elemenas v Askiru aveju, aibė M gali būi fazinė erdvė Fazinio greičio laukas Fazinio greičio vekoriai visuose fazinės erdvės aškuose apibrėžia fazinio greičio lauka Fazinio greičio laukas Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Vekoriniai ir krypčių laukai Vekoriniai ir krypčių laukai Apibrėžimas [Vekorinio lauko ypaingieji aškai] Aibės M aškas, kuriam priskiriamas nulinis vekorius, vadinamas vekorinio lauko ypainguoju ašku Apibrėžimas [Ramybės aškas] Fazinės erdvės aškai, kuriuose vekorinis laukas yra ypaingas, vadinami fazinės erdvės ramybės aškais Ramybės aškus galima surasi sprendžian vekorinę lygį Dvimaėje fazinėje erdvėje, kai ji yra plokšumos dalis, vekorinis laukas dažniausiai braižomas aidedan vekorius (krypines akarpas) aškuose, kuriuose jis kokybiškai aspindi vekorinį lauka Tiesėje vekorinis laukas dažniausiai braižomas aidedan vekorius (krypines akarpas) verikaliai, y braižomas grafikas (x, v(x)), o pačios iesės dalyse, kuriose vekorinis lauko funkijos ženklas yra vienodas, aidedamos rodyklės, o ramybės aškai vaizduojami aškais v(x) = 0 arba lygčių sisema v 1 (x 1,, x n ) = 0, v n (x 1,, x n ) = 0 Vekorinis laukas plokšumoje Vekorinis laukas ieseje Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48

5 Vekoriniai ir krypčių laukai Vekoriniai ir krypčių laukai Baziniai vekoriai žymimi: := [1, 0,, 0], x1 x 2 := [0, 1,, 0],, := [0, 0,, 1] xn Tada be kokio vekoriaus išraiška koordinaėse (x 1,, x n ) yra v(x) = v 1 (x) x vn (x) x n Vienmais vekorinis laukas Vienmaėje fazinėje erdvėje vekorinį lauka v(x) = v(x) x pilnai apibrėžia funkija v : U R Jeigu šioje fazinėje erdvėje keisime koordinačių sisema y = g(x), uome bazinis vekorius aške y = g(x) bus y = g(x) = 1 g x Todėl bazinio vekoriaus žymuo / x auomaizuoja koordinačių keiima Pavaizduokie vekorinius laukus iesėje a) v = x x ; b) v = x2 x ; ) v = sin x x ; d) v = x(1 x) x Nubraižykie vekorinius laukus plokšumoje a) v = x x + y y ; b) v = x x + 2y y ; ) v = x + sin x y Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Vekoriniai ir krypčių laukai Vekorinis laukas v(x), x U apibrėžia auonominę vekorinę DL dx() d Dažnai pilnaj a išvesinę pagal laika žymėsime: = v(x), x U (6) ẋ := dx() d [Fazinė kreivė] Kreivė fazinėje erdvėje x = ϕ(s), s I R, vadinama vekorinio lauko v(x) fazine kreive, jeigu kiekviename jos aške fazinis greiis suampa su vekorinio lauko vekoriumi ame aške Turin fazinį porrea, visada galima surasi fazinio greičio lauka Avirkščias uždavinys nagrinėjamas PDL eorijoje: pagal vekorinį lauka reikia surasi jo fazines kreives Vekoriniai ir krypčių laukai Auonominės lygys iesėje Lygys, kurių dešinioji pusė iesiogiai nepriklauso nuo laiko, y ẋ = v(x), x S R, D = R S, (7) vadinamos auonominėmis DL Jų sprendinio kiimo greiis priklauso ik nuo paies sprendinio, y okių lygčių sprendinys pas valdo savo keiimasi Parodysime, kad auonomines lygis galima suskirsyi į kokybiškai ekvivalenčias lygčių klases Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Vekoriniai ir krypčių laukai Vekoriniai ir krypčių laukai Auonominių DL svarbi savybė Jeigu x = ϕ() yra DL su apibrėžimo sriimi I ẋ = v(x), x S R, D = R S, ( I), sprendinys, ai Išvada Tegul x = ϕ() yra DL ẋ = v(x) sprendinys, apibrėžas R ir ϕ(i) šio sprendinio reikšmių sriis Be o, egu per kiekviena juosos D = R ϕ(i) aška eina ik viena DL ẋ = v(x) inegralinė kreivė Tada be kuria kia šios lygies inegralinę kreivę, esančia juosoje D galima apibrėži lygimi x = ϕ( + C), R Taigi inegralinės kreivės juosoje D gaunamos viena iš kios poslinkiu ašies krypimi ψ() = ϕ( + C) aip pa yra DL ẋ = v(x) sprendinys C R su a pačia reikšmių sriimi ir apibrėžimo sriimi { + C I} Išplaukia iš ψ() = ϕ( + C) = v(ϕ( + C)) = v ( ψ() ) Inegralinė kreivė ϕ() gaunasi iš inegralinės kreivės ψ() poslinkiu ašies eigiama krypimi Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Vekoriniai ir krypčių laukai Vekoriniai ir krypčių laukai Pavyzdys Lygis x = x 2 uri rivialų sprendinį x() = 0, R ir nerivialius sprendinius x = 1 C, kai > C bei x = 1 C kai < C Pasaruosius sprendinius aiinkančios inegralinės kreivės yra hiperbolės Inegralinės kreivės dalina plokšuma R 2 į dvi pusplokšumes x > 0 ir x < 0 Pusplokšumėje x > 0 be kuria inegralinę kreivę galima gaui paslinkus viršuinę hiperbolės x = 1 šaka ašies krypimi Analogiškai pusplokšumėje x < 0 be kuria inegralinę kreivę galima gaui paslinkus apainę hiperbolės x = 1 šaka ašies krypimi Inegralinių kreivių šeimų, kurios gaunamos viena iš kios poslinkiu ašies krypimi, kokybinį vaizda nusako kiekvienas askyrasis sprendinys Kiekvieno okio sprendinio kokybinį vaizda apibrėžia funkija v Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48

6 Vekoriniai ir krypčių laukai Vekoriniai ir krypčių laukai Jeigu kokiame nors aške x = funkija v() = 0, ai funkija ϕ(), R yra DL ẋ = v(x) sprendinys Toks sprendinys vadinamas saionariuoju sprendiniu, o aškas vadinamas ramybės ašku Jeigu v(x) 0, y v(x) > 0 arba v(x) < 0, ai kiekvienas DL sprendinys yra arba didėjani, arba mažėjani funkija Tokias sprendinių savybes paogiau vaizduoi x ašyje negu (; x) plokšumoje Pavyzdys Taškas x = 0 yra lygies ẋ = x ramybės aškas Kai x > 0, visi šios lygies sprendiniai yra didėjančios, o kai x < 0 mažėjančios funkijos Inegralinių kreivių kokybinis vaizdas ir x ašyje Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Vekoriniai ir krypčių laukai Vekoriniai ir krypčių laukai Pavyzdys ẋ = x Taškas x = 0 yra ramybės aškas Kai x > 0, visi šios lygies sprendiniai yra didėjančios, o kai x < 0 mažėjančios funkijos v(x) Lygies ẋ = x 2 1 Auonomous equaions 9 ramybės aškai x = ±1 Kai x > 1 arba x < 1, visi šios lygies sprendiniai yra didėjančios, o kai 1 < x < 1 mažėjančios funkijos x x x Inegralinių kreivių kokybinis vaizdas plokšumoje (; x) ir x ašyje Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Inegralinės kreivės (; x) plokšumoje ir kokybinis vaizdas x ašyje Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Fig 118 x= X 3, X = 0 is a fixed poin Fig 119 x= X 2, X = 0 is a fixed poin Vekoriniai ir krypčių laukai Vekoriniai ir krypčių laukai Fazinis porreas geomerinis sprendinių kokybinis vaizdas x ašyje, x ašis fazinė ašis, jos aškai faziniai aškai Jeigu sprendinys x = ϕ() nėra ramybės aškas, ai ϕ yra arba didėjani, arba mažėjani funkija Todėl, jeigu ramybės aškų yra baiginis skaičius, ai jį aiinkančių skiringų fazinių porreų aip pa yra ik baiginis skaičius Sakydami "skiringi", urime omenyje, kad jie skiriasi sriimis, kuriose sprendiniai didėja arba mažėja Pavyzdžiui, lygies ẋ = x 2 fazinis porreas, skiriasi nuo fazinio porreo lygies ẋ = x Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Pavyzdžiai Vekoriniai ir krypčių laukai DL ẋ = x, ẋ = x 3 yra kokybiškai ekvivalenčios Jos uri viena ramybės aška repelerį DL ẋ = (x + 2)(x + 1), ẋ = x 2 1 aip pa yra kokybiškai ekvivalenčios Jos uri po du ramybės aškus Vienas iš jų yra arakorius, o kias repeleris Be o, arakorių aiinka mažesnioji reikšmė DL ẋ = (x + 2)(x + 1), ẋ = x 2 1 nėra kokybiškai ekvivalenčios Jos uri po du pusiausvyros aškus: arakorių ir repelerį Tačiau jie yra išsidėsę priešinga varka Akivaizdu, kad vieno ramybės aško aveju yra galimi ik keuri skiringi faziniai porreai (a) (b) (e) Fig 120 The fourramybės possible phase aškasporrais a vadinamas assoiaed arakoriumi wih a single, aškai fixed b ir poin šunu, Theo fixed poin is desribed aškas as an d araor repeleriu in (a), a sbun in (b) and () and a repellor in (d) porrais in Fig 120 išsidėsčiusių for some value ramybės of aškų For example, x= x, X= x 3, X= X - a, x= (x - a)3, X= sinh x, x= sinh(x - a) all orrespond o Fig 120(d) for = 0 or a Of ourse, wo Olga Šikonienė differen (FDMequaions, MIF VU) eah Geomerinės having DL s one fixed poin, ha orrespond o he same phase porrai in Fig 120 have he same qualiaive behaviour We say ha wo suh differenial equaions are qualiaively equivalen Vekoriniai ir krypčių laukai Now observe ha he argumen leading o Fig 120 holds equally well if he fixed poin a x = is one of many in a phase porrai In oher words, he qualiaive behaviour of x in he neighbourhood of any fixed poin mus be one of hose illusraed in Fig 120(a)-(d) We say ha his behaviour deermines he naure of he fixed poin and use he erminology defined in he apion o Fig 120 o desribe his This is an imporan Diferenialinės sep beause lygysigali implies urėi be ha galo hedaug phase ramybės porrai aškų of (pvz any auonomous equaion lygis ẋ is= deermined sin x) Todėl skiringų ompleely fazinių byporreų he naure aip pa ofgali is būi fixedbe galo daug Tačiau, be kuris fazinis porreas gali urėi ne daugiau kaip poins We an make he following definiion keuris skiringus ramybės aškus (d) Skiringos diferenialinės lygys yra kokybiškai ekvivalenčios, jeigu jos uri a paį fazinį porrea, y uri vienoda skaičių a pačia varka avokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48 Olga Šikonienė (FDM MIF VU) Geomerinės DL savokos / 48