Naloge za 1. skupino

Transcription

1 21. DRŽAVNO TEKMOVANJE V ZNANJU RAČUNALNIŠTVA ZA SREDNJEŠOLCE Naloge za 1. skupino 1. Člani komisije računalniškega tekmovanja srednješolcev so pripravili program sort za urejanje doseženih rezultatov in trdijo, da deluje. program sort; var a: array [0..n] of integer; i, j: integer; begin for i := 2 to n do begin j := i; a[0] := a[j]; while (j > 1) and (a[j - 1] > a[0]) do begin a[j] := a[j - 1]; j := j - 1; a[j] := a[0]; end. Opiši osnovno idejo urejanja, ki je uporabljena v programu sort. Ugotovi ali je podpogoj (j > 1) v while zanki zares potreben, se pravi, ali so bili člani komisije pri sestavljanju podprograma sort preveč prizadevni in smejo prepisati pogoj v zanki v pogoj while (j > 1) and (a[j - 1] > a[0]) do begin a[j] := a[j - 1]; j := j - 1; while a[j - 1] > a[0] do begin a[j] := a[j - 1]; j := j - 1; 1

2 2. V podani tabeli tabela je dolz števil (0 dolz 100), preostanek tabele pa je neuporabljen. var tabela: array [1..100] of integer; dolz: integer; Napiši program, ki tabelo spremeni tako, da v primeru zaporednih enakih števil odstrani iz tabele vse zaporedne kopije. Na koncu mora biti v spremenljivki dolz shranjena nova dolžina tabele. Primer: pred brisanjem: po brisanju kopij: dolz=12 dolz=7 2

3 3. Pri zapisovanju slovarja slovenskega jezika na CD-ROM (speštanka) je dr. Ostropišič opazil, da ima veliko število besed enake končnice. Odločil se je, da bo izkoristil to lastnost in s primernim kodiranjem prihranil nekaj prostora. Kot jezikoslovec sam tega seveda ne zmore, zato mu pomagaj. Opiši postopek, ki bo v seznamu besed poiskal takšno končnico besed, da bo zmnožek ponovitev besed, katerim je ta končnica skupna, in dolžine končnice, največji. Če je takih končnic več, poišči katerokoli izmed njih. Primer: BOLAN BONBON SALON ZAKLON PRIKLON SKLON Končnica N se ponovi 5 krat, zmnožek je 5. Končnica ON se ponovi 4 krat, zmnožek je 8. Končnica LON se ponovi 3 krat, zmnožek je 9. Končnica KLON se ponovi 2 krat, zmnožek je 8. Pozor, končnica ON se pojavi petkrat, a se ponovi le štirikrat. V zgornjem primeru je pravilni odgovor LON. Seznam besed je zapisan v tabeli tako, da je v vsakem elementu po ena beseda. V tabeli je veliko število (> 100) kratkih besed (< 10 znakov). Predpostavi, da lahko vse besede shraniš v pomnilnik. Besede so že urejene po abecednem redu, vendar od konca besede proti začetku, tako kot kaže zgornji primer. 3

4 4. Ponudniki dostopa do Interneta (npr. slovenski ARNES in ameriški America On- Line), se vedno znova srečujejo s pomanjkanjem modemskih vstopnih linij. Izkušnje ameriških ponudnikov kažejo, da razmerje med številom modemov in številom uporabnikov ne sme presegati 1 : 10. Kadar je to razmerje preseženo, so modemi neprestano zasedeni. Ponudnik dostopa do Interneta Butale BBS ima na voljo N modemov. Razmerje med številom modemov in številom uporabnikov je približno 1 : 42. Napiši program, ki nadzoruje uporabo modemov tako, da vedno obdrži en modem prost. V primeru, ko so vsi modemi zasedeni, program sprosti tisti modem, ki je bil do takrat najdlje zaseden. Modemi so oštevilčni od 1 do N. Na razpolago imaš podprogram zaseden(i), ki vrne, koliko sekund je modem i že zaseden. Če je modem prost, podprogram vrne 0. Modem i sprostimo s klicem podprograma sprosti(i). Ali je ta rešitev primerna? Kakšne težave lahko predvidiš? Odgovor utemelji in predlagaj boljšo rešitev. 4

5 21. DRŽAVNO TEKMOVANJE V ZNANJU RAČUNALNIŠTVA ZA SREDNJEŠOLCE Naloge za 2. skupino 1. Programer Jaša je našel program, ki ga je napisal pred davnimi leti. Žal se ne spomni, kaj je hotel z njim reševati. Spomni pa se, da nekaj z njim ni bilo v redu. Seveda mu boš pomagal ti. a) Razloži kaj program počne. b) Skrajšaj program. c) Za katere vhodne podatke program deluje nepravilno? d) Navedi primer vhodnih podatkov, za katere program izpiše dvakrat 42. Naj samo še spomnimo, da operator ~ v C-ju oz. NOT v pascalu obrne vse bite v dvojiški predstavitvi števil. #include <stdio.h> int main() { program main(input, output); int n1, n2, c, d, e, f; var printf("vnesi 1. stevilo:"); n1, n2, c, d, e, f: integer; scanf("%d", &n1 ); begin printf("vnesi 2. stevilo:"); write( Vnesi 1. stevilo: ); scanf("%d", &n2); readln( n1 ); c = d = 0; write( Vnesi 2. stevilo: ); e = f = 1; readln( n2 ); if ( n1 < 0 ) { c:=0; d:=0; n1 = -n1; e:=1; f:=1; e = f = -1; if n1 < 0 then begin n1:=-n1; e:=-1; f:=-1; if ( n2 < 0 ) { n2 = -n2; if n2 < 0 then begin e = -e; n2:=-n2; e:=-e; do { repeat if ( c%2 ) if odd( c ) then n1 = n1 - n2; n1 := n1 - n2 else else n1 = n1 + ~n2 + 1; n1 := n1 + NOT n2 + 1; c += 1; c := c + 1; while( n1 >= n2 ); until n1 < n2; if ( n1 < 0 ) d = 1; if n1 < 0 then d := 1; printf("%d %d\n", writeln((c-d)*e, (n1+n2*d)*f); (c-d)*e, (n1+n2*d)*f); end. 1

6 2. S skrivanjem sporočil pred nepooblaščenimi pogledi se ukvarjata dve vedi: kriptografija in steganografija. Kriptografija poskuša zagotoviti takšno šifriranje dokumentov, da jih nasprotnik ne more prebrati, tudi če prestreže šifrirani dokument. Steganografija poskuša skriti vsebino dokumenta tako, da se nasprotnik sploh ne zaveda, da ima v rokah skriti dokument. V praksi se večkrat uporabljata obe metodi hkrati, šifrirani dokument še skrijemo. Ena od možnosti za skrivanje dokumenta je, da ga skrijemo v neki drugi večji dokument, na primer v sliko ali v zvočni zapis. Pri tem večji dokument nekoliko pokvarimo, vendar na čim manj opazen način. Vzemimo za večji dokument črno-belo sliko velikosti točk (pikslov). Svetlost vsake točke je predstavljena s številom med 0 in 255. Če spremenimo najnižji bit se svetlost točke spremeni kvečjemu za 1/256, kar je manj kot 0.4%. Tega s prostim očesom ne opazimo ali kvečjemu zaznamo kot povečan šum v sliki. V sliko lahko tako skrijemo /8 = 8192 osem-bitnih znakov. const w = 256; h = 256; var slika: array [1..h, 1..w] of ; Napiši podprogram SkrijBesedilo, ki bo v sliko v tabeli slika vpisal besedilo, dolgo 8192 znakov, ter podprogram RazkrijBesedilo, ki bo iz slike izluščil skrito besedilo in ga izpisal. Da ne zapletamo programa s kodiranjem koncev vrstic in se izognemo preverjanju konca vhodne datoteke, predpostavimo, da je na vhodni datoteki le ena vrstica besedila, dolga 8192 znakov. 2

7 3. Napiši funkcijo PrestejPodnize, ki mora vrniti število pojavitev niza PodNiz v nizu Niz. Štejejo tudi nestrnjene ponovitve, torej je lahko med črkami PodNiz-a v Niz-u tudi poljubno število drugih črk. Funkcija PrestejPodnize ima obliko ali function PrestejPodnize(Niz, PodNiz: string): integer; int PrestejPodnize(char* Niz, char* PodNiz); Primeri: v nizu deafgahibjkclm nastopajo podnizi: abc dvakrat (zaradi dveh a-jev), bc enkrat, afg enkrat in ba nobenkrat. V deafgabhibjkclm nastopa abc štirikrat, v deafbgahibjkclm pa trikrat. Niz abcdefghij nastopa v nizu aabbccddeeffgghhiijj 1024-krat. 3

8 4. Celota je razdeljena na N deležev, ki so realna števila med 0 in 1, njihova vsota pa je 1. Deleži so podani v tabeli: const N = 20; { N je poljuben, a ne zelo velik var delez: array [1..N] of real; Radi bi izpisali deleže v odstotkih, zaokrožene na cela števila. Pri tem nastane lepotni problem, saj se lahko zgodi, da vsota zaokroženih odstotkov ni točno 100. Problemu se izognemo z goljufanjem pri zaokrožanju. Odstotke zaokrožimo tako, da je skupna vsota natanko 100, skupna absolutna napaka pa čim manjša. Goljufajmo torej pri tistih deležih, ki se jim goljufija manj pozna. Primer za N = 5: delez* > Na primer, 10.4 lahko zaokrožimo na 10 ali na 11, kot nam bolj ustreza. V prvem primeru je absolutna napaka 0.4, v drugem pa 0.6. Napiši del programa, ki v tabeli podane deleže izpiše kot zaokrožene odstotke. Program naj poskrbi, da je vsota zaokroženih odstotkov 100, skupna absolutna napaka pa najmanjša. 4

9 21. DRŽAVNO TEKMOVANJE V ZNANJU RAČUNALNIŠTVA ZA SREDNJEŠOLCE Naloge za 3. skupino 1. Ker se člani komisije računalniškega tekmovanja srednješolcev raje ukvarjajo s trapastimi podatkovnimi strukturami kot s sestavljanjem pametnih nalog, so skovali funkcijo DvojnaHitrost, sedaj pa ne vedo, kaj sploh dela. Ugotovi, kaj vrne funkcija DvojnaHitrost, in oceni, kolikokrat se v najslabšem primeru izvede telo zanke repeat, pri čemer seznam s vsebuje n elementov. Člani komisije ti bodo za pravilno rešitev naloge zares hvaležni. type seznam = ^vozel; vozel = record naslednji : seznam... podatki... function DvojnaHitrost (s : seznam) : boolean; var p1, p2 : seznam; begin p1 := s; p2 := s; repeat if p1 <> nil then p1 := p1^.naslednji; if p2 <> nil then p2 := p2^.naslednji; if p2 <> nil then p2 := p2^.naslednji; until (p1 = nil) or (p2 = nil) or (p1 = p2); DvojnaHitrost := (p1 <> nil) and (p2 <> nil); 1

10 2. Novoizvoljeni župan Gropel kraja Kraljana je želel izvedeti, kateri ljudje v njegovem mestu so najpomembnejši. Nekako mu je v roke prišel seznam meščanov (na datoteki ligenj.doc), ki so med seboj prijatelji. Župan je sklepal takole: moč meščana je enaka številu njegovih prijateljev. Začetna pomembnost vsakega meščana je ena. Pomembnost meščanov se prenaša z enega na drugega tako, da vsak meščan, ki ima močnejše prijatelje, svojo pomembnost enakomerno razdeli mednje. Njegova pomembnost pri tem postane nič. Najpomembnejše meščane dobimo, ko prenašanje pomembnosti med meščani ni več možno. Napiši algoritem, ki čim učinkoviteje določi pomembnosti meščanov in izpiše številke meščanov z neničelno pomembnostjo. Pri tem imaš na voljo naslednje funkcije in podprograme: PreberiMescane: integer; Prebere podatke o meščanih in vrne njihovo število. Tekoci(m: integer); Meščan m postane tekoči meščan. Naslednji: integer; Vrne naslednjega prijatelja tekočega meščana ali 0, če so vsi pregledani. Kaj veš povedati o rešitvah naloge? 2

11 3. BIOS (Basic Input Operating System) program nekega računalnika za shranjevanje sistemskih nastavitev uporablja pomnilniški čip tipa Flash ROM. Tovrstni čipi obdržijo vpisano informacijo tudi po izklopu napajanja. Sprva je čip prazen in na njem so zapisane same ničle. V čip lahko vpisujemo le enice. Brisanje (vpisovanje ničel) je sicer možno, a dolgotrajno in skrajša življenjsko dobo čipa, zato ga ne bomo uporabljali. BIOSu je čip predstavljen kot niz podatkovnih besed: const MAXFROM=...; var FlashROM: array [1..MAXFROM] of integer; BIOS vpisuje cela števila v čip s podprogramom Vpisi, pri čemer se vpišejo samo enice: procedure Vpisi(Naslov, Podatek: integer); begin FlashROM[Naslov] := FlashROM[Naslov] OR Podatek; Ob vsakem vpisovanju BIOS na čip najprej zapiše velikost zapisa (N), temu pa sledi N-1 podatkov. Zapisi se nizajo eden za drugim, zadnjemu zapisu pa sledi nepopisano področje samih ničel. Ob vsakem zagonu sistema, se zagonski program sprehodi prek vseh zapisov do zadnjega in ga prebere. Število zapisov se med delovanjem sistema veča, zato program za iskanje zadnjega zapisa porabi vse več časa. Vaša naloga je, da izdelate učinkovit algoritem, ki poskuša podatke v Flash ROM čipu spremeniti tako, da bo zagonski program čim hitreje našel zadnji zapis. Pri tem sme spreminjati samo informacijo o velikosti posameznih zapisov. 3

12 4. Podjetje Domača pamet-tuje ideje je ugotovilo, da njihovi zaposleni pogosto zahtevajo iste strani z Interneta, ki se vedno znova prenašajo prek njihove povezave. Zato so se odločili, da bodo naredili strežnik, ki bo zahteve prestregel, pogledal, če je stran že bila zahtevana, in jo v tem primeru podal kar iz vmesnega pomnilnika na disku. Najeli so te, da napišeš dva podprograma: zahtevek(naslov: string; tok: integer), ki bo poklican vsakič, ko bo kateri od uporabnikov zahteval stran, in prispelo(podatki: string; tok: integer), ki bo poklican vsakič, ko preko linije iz Interneta pridejo podatki za zahtevo povezano s tem tokom. Če je podatkov konec (sprejeti so bili vsi podatki), bo dolzina(podatki) enako 0, sicer bo dolzina(podatki)>0. Vsi prenosi podatkov potekajo v tokovih. Vsak tok je označen s pozitivnim celim številom. Iz vmesnega pomnilnika bodo na tok vedno prišli vsi podatki iz zahteve (ali pa nič), na druge tokove pa lahko podatki prihajajo po kapljah, vsakič po nekaj zlogov (byteov). Tip string je zagotovljeno dovolj velik za vsako zahtevo. Na voljo imaš naslednje funkcije: zahtevaj(naslov: string): integer Sproži zahtevo in vrne številko toka. poslji(podatki: string; tok: integer) Na tok tok pošlje podatke. shranjen(naslov: string; podatki: string): integer Če so podatki v vmesnem pomnilniku, vrne 0 in podatke v parametru podatki. Če podatkov v vmesnem pomnilniku ni, vrne številko toka, na katerega naj pošljemo podatke. Vedeti je treba, da bo pri polni obremenitvi strežnik moral ustreči nekaj tisoč zahtevam na uro. 4

13 Rešitve za 1. skupino 1. Funkcija sort uredi n elementov tabele a na intervalu 1..n z algoritmom navadnega vstavljanja s čuvajem. To pomeni, da v vsaki ponovitvi for zanke vstavi vrednost, ki je na začetku izvajanja procedure v elementu a[i], na pravo mesto med vrednosti a[1],a[2],..,a[i-1] in s tem poveča urejeni del tabele na interval a[1],a[2],..,a[i]. Postopek se konča, ko vstavi vrednost elementa a[n] in s tem doseže urejenost cele tabele a. Podpogoj (j > 1) prvič ni izpolnjen v trenutku, ko velja j = 1. A ker vrednost elementa a[i], ki jo vstavljamo v že urejeni del tabele, med vstavljanjem hranimo v elementu a[0], tudi podpogoj a[j - 1] > a[0] pri j = 1 ni izpolnjen, while zanka pa se zato pri j = 1 gotovo ustavi. To pomeni, da lahko podpogoj (j > 1) odstranimo. 5

14 2. Rešitev: var f,t: integer; if dolz > 0 then begin t:= 1; for f:= 2 to dolz do if tabela[t] <> tabela[f] then begin t:= t+1; tabela[t]:= tabela[f] dolz:= t; {if 6

15 3. Na spodnjem primeru se vidi, kako program deluje: beseda[0] = beseda[1] = beseda[2] = RIRA beseda[3] = TUA beseda[4] = FO beseda[5] = VQ beseda[6] = PFYR beseda[7] = T beseda[8] = Y beseda[9] = VY Ujemanje med RIRA in TUA = A dolzine 1 s kriterijem 1 Ujemanje med Y in VY = Y dolzine 1 s kriterijem 1 Najpogostejsa koncnica Y ima kriterij 1 /* * Iskanje najdalse skupne koncnice. * * Nespametni algoritem je reda O(n**2), * boljsi algoritem je reda O(n**1.6). * */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int rcompare( const void *arg1, const void *arg2 ); int rmatch( const void *arg1, const void *arg2 ); char *rword ( char *pc ); #ifndef lint static char vcid[] = "$Id: koncnica.c,v /04/30 14:08:27 kosir Exp $"; #endif /* lint */ #define STEVILO_BESED 10 /* stevilo vseh besed */ #define DOLZINA_BESED 5 /* dolzina ene besede, skupaj z \0 */ void main() { char besede [STEVILO_BESED] [DOLZINA_BESED]; /* tabela vseh besed */ char koncnica[dolzina_besed]; /* najdaljsa skupna koncnica */ int icrka; /* kazalec na trenutno crko */ int ibeseda; /* tekoci stevec po besedah */ int jbeseda; /* tekoci stevec po besedah */ int dolzina; /* dolzina nakljucne besede */ int preskoci; /* preskoci nekaj besed */ int ujemanje; /* dolzina ujemanja koncnice */ int kriterij; /* vrednost optimizacijskega parametra */ srand( (unsigned)time( NULL ) ); /* inicializiraj nakljucni generator */ /* tabelo napolni z nakljucnimi besedami */ 7

16 for (ibeseda=0; ibeseda < STEVILO_BESED; ibeseda++){ dolzina = rand()%dolzina_besed; for (icrka=0; icrka<dolzina; icrka++){ besede[ibeseda][icrka] = (char) (rand()%26 + (int) A ); besede[ibeseda][dolzina] = \0 ; /* tabelo uredi v obratnem vrstnem redu */ qsort(besede, STEVILO_BESED, sizeof( besede[0] ), rcompare ); /* izpisi tabelo */ for (ibeseda=0; ibeseda<stevilo_besed; ibeseda++){ printf (" beseda[%d] = %s \n", ibeseda, besede[ibeseda]); /* poisci najdaljse ujemanje */ kriterij = ujemanje = 0; /* inicializiraj */ for ( ibeseda=0; ibeseda<stevilo_besed; ibeseda++ ){ preskoci = 1 > kriterij/dolzina_besed? 1 : kriterij/dolzina_besed; for ( jbeseda=ibeseda+preskoci; jbeseda<stevilo_besed; jbeseda++ ){ ujemanje = rmatch ( besede[ibeseda], besede[jbeseda] ); if (ujemanje==0) break; if (ujemanje*(jbeseda-ibeseda) >= kriterij) { kriterij = ujemanje*(jbeseda-ibeseda); strcpy(&koncnica[0], &besede[ibeseda][strlen (besede[ibeseda])-ujemanje]); printf (" Ujemanje med \t %s \t in %s \t= %s dolzine %d s kriterijem %d\n", besede[ibeseda], besede[jbeseda], koncnica, ujemanje, kriterij ); printf (" Najpogostejsa koncnica %s ima kriterij %d\n", koncnica, kriterij); return; /* funkcija besedi primerja leksikografsko po crkah od zadaj naprej */ int rcompare(const void *parg1, const void *parg2 ) { int ret; ret=strcmp(rword((char*)parg1), rword((char*)parg2)); /* besedi obrni in ju primerjaj */ (void) rword((char*)parg1); /* besedi vrni v prvotno stanje */ (void) rword((char*)parg2); return (ret); /* vrni rezultat primerjave */ /* v koliko znakih od zadaj naprej se ujemata besedi? */ 8

17 int rmatch(const void *parg1, const void *parg2 ) { char *pc1; /* lokalni kazalec na znak prve bes. */ char *pc2; /* lokalni kazalec na znak druge bes. */ int i; /* stevec znakov, ki se ujemajo */ (void) rword((char*)parg1); /* besedi obrni */ (void) rword((char*)parg2); for ( pc1 = (char*)parg1, pc2 = (char*)parg2, i = 0; *pc1 == *pc2; ++pc1, ++pc2, ++i ) { /* prestej v koliko zacetnih */ if (*pc1 == \0 ) break; /* znakih se besedi ujemata */ (void) rword((char*)parg1); /* besedi vrni v prvotno stanje */ (void) rword((char*)parg2); return i; /* na mestu obrne niz znakov */ char *rword(char *pc) { char *pc1, *pc2; */ /* kazalca na zacetek in konec stringa char ch; /* vmesni znak pri zamenjavi */ int len; /* dolzina niza */ int i; len = strlen(pc); /* zapomnimo si dolzino niza */ pc1 = pc; /* pripravimo kazalca */ pc2 = pc+len-1; /* na prvo in zadnjo crko */ */ for ( i=0; i<len/2; i++, pc1++, pc2-- ){ ch = *pc1; /* zapomnimo si znak */ *pc1 = *pc2; /* in medsebojno zamenjamo */ *pc2 = ch; /* simetricno lezeca znaka */ return pc; /* vrne kazalec na obrnjeni niz znakov 9

18 4. Programček je enostaven in ga prepuščamo reševalcu ;-) Približno pa bi radi slišali nekaj od naslednjih idej: dosledna uporaba programa lahko ob obremenjenosti servisa povzroči, da bodo ljudje na liniji po par sekund, preden jih bo servis dol vrgel dodatni podatek o servisu bi bil poprečno število klicev na uro. in poprečen čas, ki ga uporabnik prebije na liniji (in seveda stevilo linij). kompromis bi bil, da se uporabnika vrže dol samo če je bil na liniji vsaj X minut. X je v nekaksni zvezi med gostoto klicev, številom linij in časom, ki ga ljudje prebijejo na liniji ter zahtevo, kako uspešen naj bo klic na servis (uspešnost merjena v procentih). No, vse skupaj je že statistika, in se lahko cela znanost dela iz tega. 10

19 Rešitve za 2. skupino 1. Rešitev za C: a) program deli 1. število z 2. in izpiše celi del in ostanek; b) ukinemo spremenljivke c, d, e in f, pobrišemo vse pripadajoče stavke, ukinemo zanko in spremenimo izpis v printf( "%d %d", n1/n2, n1%n2 ); c) preveriti moramo, če je drugo število enako 0, saj ne smemo deliti z 0. d) velja pri poljubnem paru celih stevil (a,b) za katere velja, da je a = (b + 1) 42 in hkrati b > 42. Primer: 1848 in 43. Rešitev za Pascal: a) program deli 1.število z 2. in izpiše celi del in ostanek; b) ukinemo spremenljivke c, d, e in f, pobrišemo vse pripadajoče stavke, ukinemo zanko in spremenimo izpis v writeln(n1 div n2,, n1 mod n2); c) preveriti moramo, če je drugo število enako 0, saj ne smemo deliti z 0. d) velja pri poljubnem paru celih števil (a,b) za katere velja, da je a = (b + 1) 42 in hkrati b > 42. Primer: 1848 in

20 2. Rešitev: const w = 256; h = 256; var slika: array [1..h, 1..w] of ; procedure SkrijBesedilo; var iw,ih,j,ic,bit: integer; c: char; begin {SkrijBesedilo iw:= 1; ih:= 1; while ih <= h do begin read(c); ic:= ord(c); { shrani 8 bitov znaka v zaporedne piksle, zacni z najnizjim bitom (lsb) { predpostavimo, da je sirina slike mnogokratnik 8 for j:= 1 to 8 do begin bit:= ic mod 2; ic:= ic div 2; { izlusci naslednji bit znaka slika[ih,iw]:= (slika[ih,iw] div 2) * 2 + bit; iw:= iw+1; {for if iw > w then begin iw:= 1; ih:= ih+1 {while {SkrijBesedilo procedure RazkrijBesedilo; var ic,i,j: integer; k,kp: integer; { k steje bite; kp = 2^k begin {RazkrijBesedilo k:= 0; kp:= 1; ic:= 0; for i:= 1 to h do for j:= 1 to w do begin { izlusci zaporedne bite iz pikslov in jih zdruzi po 8 v en znak; { pozor na obratni vrstni red bitov: najnizji bit je v prvem pikslu ic:= ic + kp * (slika[i,j] mod 2); k:= k+1; kp:= 2*kp; if k >= 8 then begin { znak je kompleten write(chr(ic)); k:= 0; kp:= 1; ic:= 0; { pripravi se na nov znak {if {for writeln; {RazkrijBesedilo 12

21 3. { Primer resitve v pascalu: function PrestejPodnize(Niz, Podniz: string): Longint; var Stevec: Longint; LNiz, LPodniz: Integer; procedure Stej(ZacNiz, ZacPodniz: Integer); var I, LN, LP: Integer; begin LN := LNiz-ZacNiz+1; LP := LPodniz-ZacPodniz+1; if (LN > 0) and (LP > 0) and (LN >= LP) then for I := 1 to LN-LP+1 do if Niz[I+ZacNiz-1] = PodNiz[ZacPodniz] then if LP = 1 then Inc(Stevec) else Stej(ZacNiz+I, ZacPodniz+1) { Stej begin Stevec := 0; LNiz := Length(Niz); LPodniz := Length(Podniz); Stej(1, 1); PrestejPodnize := Stevec { PrestejPodnize /* Primer resitve v jeziku C: */ long prestejpodnize(char* niz, char* podniz) { long stevec = 0; char *konec, *p; if (!niz!podniz) return 0; if (!*niz!*podniz) return 0; konec = niz; while (*konec) konec++; p = podniz; while (*p && konec > niz) konec--, p++; if (*p) return 0; while (niz <= konec) if (*niz++ == *podniz) stevec += podniz[1]? prestejpodnize(niz, podniz+1) : 1; return stevec; 13

22 4. Rešitev: const n = 20; var delez: array [1..n] of real; odst: array [1..n] of integer; min: real; j, indmin, sum: integer;... sum:= 0; for j:= 1 to n do begin delez[j]:= delez[j]*100; odst[j]:= trunc(delez[j]); sum:= sum + odst[j]; {for while sum < 100 do begin indmin:= 1; min:= odst[indmin] - delez[indmin]; for j:= 2 to n do if odst[j] - delez[j] < min then begin indmin:= j; min:= odst[j] - delez[j] odst[indmin]:= odst[indmin] + 1; sum:= sum + 1; {while for j:= 1 to n do writeln(odst[j]); Nekaj iteracij zanke while bi lahko prihranili, če bi kot prvi približek bolje zaokrožali, npr. s funkcijo round, in potem porazdelili preostali viček ali primanjkljaj. Za večje tabele bi bilo vredno nadomestiti linearno iskanje najmanjših (100 - sum) elementov z učinkovitejšim algoritmom. 14

23 Rešitve za 3. skupino 1. Kazalca p1 in p2 potujeta vzdolž seznama l. Kazalec p1 se pri vsaki izvedbi telesa repeat zanke premakne naprej po seznamu l za en element, kazalec p2 pa za dva elementa. Kazalec p2 potuje torej dvakrat hitreje vzdolž seznama l kot kazalec p1. V mejnem primeru, ko velja l = nil in n = 0, se telo repeat zanke izvede enkrat, funkcija dvojna_hitrost pa vrne false. Predpostavimo sedaj, da seznam ni prazen, torej n > 0. Če kazalec p2 med potovanjem vzdolž seznama dobi vrednost nil, je dosegel zadnji, torej n-ti element seznama in repeat zanka se izteče, funkcija pa vrne vrednost false. Pri n elementih v seznamu kazalec p2 potrebuje n/2 korakov dolžine 2 in tolikokrat se izvede tudi telo repeat zanke. Obstaja pa še možnost, da kazalec p2 nikoli ne dobi vrednosti nil. To se zgodi v primeru, ko kazalec naslednji n-tega elementa kaže na k-ti element seznama, pri k n. Seznam torej lahko vsebuje zanko, v kateri so elementi z indeksi k, k+1,... n. V k-tem koraku kazalec p1 doseže zanko elementov v seznamu, kazalec p2 pa je tudi že v zanki. A ker kazalec p1 potuje s korakom 1, kazalec p2 pa s korakom 2, se z vsako ponovitvijo repeat zanke razdalja med kazalcema v zanki zmanjša za 1. To pomeni, da bo kazalec p2 prej ali slej ujel kazalec p1, vrednosti kazalcev bosta enaki in repeat zanka se bo iztekla, funkcija dvojna_hitrost pa bo vrnila vrednost true. Kazalec p1 je najprej naredil k korakov, da je dosegel zanko elementov v seznamu, nato pa je potreboval še največ n - k korakov, da ga je kazalec p2 ujel. Skupno število korakov, ki jih opravi kazalec p1, je torej največ n. Skratka, funkcija dvojna_hitrost vrne vrednost true, če v seznamu l obstaja zanka, in vrednost false sicer. V najslabšem primeru se telo repeat zanke izvede največ n + 1 krat. 15

24 2. Skica rešitve: Razdeljevanje vrednosti lahko opravimo v enem prehodu, če uredimo točke v naraščajočem vrstnem redu njihovih moči. Ustvarjanje seznama močnejših sosedov tekoče točke sem opravil implicitno z uporabo rekurzije. PROGRAM Ravbarji; CONST nmax = 2000; TYPE vrednosti = ARRAY [ 1.. nmax ] OF real; permutacija = ARRAY [ 1.. nmax ] OF integer; VAR n, i, j : integer; moc, vpliv : vrednosti; tocka : permutacija; dat, lst : text; PROCEDURE Razdeli(i: integer); VAR m : integer; delez :real; PROCEDURE Deli; VAR j : integer; BEGIN REPEAT j := Naslednji; IF j = 0 THEN BEGIN IF m > 0 THEN BEGIN delez := vpliv[i]/m; vpliv[i] := 0; END END ELSE IF moc[i] < moc[j] THEN BEGIN m := m + 1; Deli; vpliv[j] := vpliv[j] + delez; j := 0; END; UNTIL j = 0; END; BEGIN m := 0; Tekoca(i); Deli; END; BEGIN n := PreberiGraf; FOR i := 1 TO n DO BEGIN vpliv[i] := 1; moc[i] := 0; Tekoca(i); WHILE Naslednji > 0 DO moc[i] := moc[i] + 1; END; Uredi(moc,tocka,n); FOR i := 1 TO n DO Razdeli(tocka[i]); Uredi(vpliv,tocka,n); i := n; REPEAT 16

25 j := tocka[i]; IF vpliv[j] = 0 EXIT; writeln(lst, j:5, vpliv[j]:10:5); i := i - 1; UNTIL i = 0; END. Za regularne grafe ostane vpliv vseh točk enak 1. Naj bo m = E. Tedaj je zahtevnost postopka enaka: O(m) + O(m) + O(n log n) + O(m) + O(n log n) + O(n) (branje, moči, urejanje, pomembnosti, urejanje, izpis). Torej O(max(m, n log n)) Za skoraj polne grafe je m = O(n 2 ), za redke (npr. ravninske) pa je m = O(n). 17

26 3. Rešitev: var indeksi, cene, odkod: array[1..maxfrom] of integer; zadnji, lokacija, velikost, zapis: integer; begin indeksi[1] := 1; cene[1] := 0; odkod[1] := 0; lokacija := FROM[1] + 1; zadnji := 1; while (FROM[lokacija] <> 0) do begin zadnji := zadnji+1; indeksi[zadnji] := lokacija; cene[zadnji] := cene[zadnji-1] + 1; odkod[zadnji] := zadnji-1; for zapis := 1 to zadnji-2 do begin if cene[zapis] + 1 < cene[zadnji] then begin velikost := (lokacija - indeksi[zapis]) OR FROM[indeksi[zapis]]; if indeksi[zapis] + velikost = lokacija then begin cene[zadnji] := cene[zapis] + 1; odkod[zadnji] := zapis; lokacija := lokacija + FROM[lokacija]; while zadnji <> 1 do begin zapis := odkod[zadnji]; WriteFROM( indeksi[i], indeksi[zadnji] - indeksi[i] ); zadnji := zapis; end. Opis rešitve: Iz čipa beremo zapise enega za drugim. V tabelo indeksi si zapišemo lokacijo zapisa v cipu, v tabelo cene pa vpišemo število skokov, ki jih naredimo, da pridemo od prvega zapisa do trenutnega. To je v najslabšem primeru za ena večje od števila skokov, ki nas privedejo do zapisa, ki stoji pred trenutnim. Lahko pa je tudi manjše. Zato preverimo če lahko s spremembo velikosti kaksnega izmed prejšnjih zapisov pridemo do trenutnega tako, da se bo število skokov čimbolj zmanjšalo. Če smo tak zapis nasli, si njegovo zaporedno številko zapišemo v tebelo odkod. V nasprotnem primeru pa v tabelo odkod zapišemo zaporedno številko prejšnjega zapisa. Ko pridemo do zadnjega zapisa, se na zadnjem mestu v tabeli cene nahaja število skokov, ki jih potrebujemo da pridemo do zadnjega zapisa. Na koncu moramo pot z najmanjšim številom skokov zapišati še v Flash ROM. Zdaj uporabimo tabelo odkod, ki brana od zadaj na način zapis := odkod[zapis] vsebuje vse zapise, ki jim moramo spremeniti velikost. 18

27 4. Rešitev v Pascalu: const maxzahtev=10000; \{ Najvec dovoljenih istocasnih zahtev \ type dvezahtevi:array [1..2] of integer; var zahteve:array [1..maxzahtev] of dvezahtevi; procedure zahtevek(naslov:string, tok:integer); var podatki:string; vmtok,novtok:integer; begin vmtok:=incache(naslov,podatki); if (vmtok=0) then put(podatki,tok) else begin novtok:=get(naslov); zahteve[novtok,1]:=vmtok; zahteve[novtok,2]:=tok; end end procedure podatki(data:string, tok:integer); begin put(zahteve[tok,1],data); put(zahteve[tok,2],data); if (length(data)=0) then begin zahteve[tok,1]=0; zahteve[tok,2]=0; Resitev v Perlu: sub zahtevek { my ($naslov,$tok)=@_; my $podatki; unless ($vmtok=incache($naslov,$podatki)) { put($podatki,$tok); else { my sub podatki { my ($data,$tok)=@_; foreach (@zahteve[$tok]) { 19

28 put($_,$data); unless (length($data)) 20