RIZIKO V PODNIKU. Prípadová štúdia 4. Ing. Michal Tkáč, PhD

Transcription

1 RIZIKO V PODNIKU Prípadová štúdia 4 Ing. Michal Tkáč, PhD Tento učebný text je venovaný hlavne študentom 1. ročníka II. stupňa Podnikovohospodárskej fakulty, Ekonomickej univerzity v Bratislave. Text obsahuje prípadovú štúdiu k predmetu Riziko v podniku zameriavajúcu sa na simuláciu a optimalizáciu portfólia. Úvod Oblasť počítačovej simulácie a optimalizácie v súčasnosti prechádza nevídanými zmenami. Neustály rozvoj má za následok využívanie simulácií aj v takých oblastiach, v ktorých sa ich aplikácia považovala za nerealizovateľnú alebo technicky nezvládatelnú. Veľkým prínosom sú aj softvérové balíky, ktoré využívajú najnovšie metódy na zefektívnenie nielen samotnej simulácie a optimalizácie, ale aj na skvalitňovanie jednotlivých výsledkov. Jedným z takýchto vysoko sofistikovaných nástrojov je aj softvérový program Crystal Ball od firmy Oracle, ktorému sa venuje táto práca. Na príklade optimalizácie portfólia, bude demonštrovaná schopnosť softvéru vytvárať finančné modely, uskutočňovať simulácie týchto modelov, či nachádzať optimálne riešenia v rámci komplikovaných systémov. 1. Crystal Ball Crystal Ball je analytický nástroj využívaný na predikciu, modelovanie, predpovedanie simulácie a optimalizovanie. Organizácie ho väčšinou využívajú v oblastiach ako sú: analýza finančného rizika, ohodnocovanie, dizajn, Six sigma, optimalizovanie portfólia, odhad nákladov a projektový manažment. Jedným z jeho najväčších kladov je jednoduché užívateľské rozhranie. Na rozdiel od väčšiny programov s týmto zameraním, k jeho obsluhe nie je potrebná žiadna znalosť programovania. Crystal Ball totiž funguje ako nadstavba pre Microsoft Excel. Modelovanie ako aj následná simulácia či prezentovanie výsledkov sa tak uskutočňuje v rámci pracovných hárkov. Jedným z najčastejších modelovaní v rámci podniku je finančné modelovanie. Pod pojmom finančné modelovanie je v prostredí Crystal Ballu potrebné chápať tvorbu a použitie pracovných hárkov, ktoré odzrkadľujú minulosť, prítomnosť alebo budúcnosť jednotlivých operácii organizácie alebo osoby. V rámci Crystal Ballu taktiež treba rozoznávať deterministické a stochastické modelovanie. Jednou z najväčších výhod Crystal Ballu je totiž práve pretváranie deterministických modelov na stochastické. Pridávaním stochastických predpokladov tak systematickým spôsobom zakomponováva dopady rizika a neistoty do modelu. Následná štatistická analýza jednotlivých predpovedí načrtáva riskantnosť jednotlivých obchodných operácií navrhnutých v modely. Proces použitia softvéru sa skladá z týchto krokov: 1. Stavba modelu v rámci pracovného hárku Excelu. 2. Nastavenie a spustenie simulácie 3. Optimalizácia 4. Vyhodnotenie výsledkov Analýza rizika za použitia softvéru Crystal Ball je postavená na vytvorení matematického modelu v Exceli, ktorý by zobrazoval daný problém, respektíve situácie, v rámci ktorých je potrebné urobiť rozhodnutie. Po vytvorení deterministického modelu na báze predpokladov, je

2 nutné nahradiť jednotlivé odhadované charakteristiky ich predpokladanými rozdeleniami a odhadnúť rozdelenie výslednej premennej. Odhadované rozdelenie výslednej premennej je následne použité na zhodnotenie rizika situácie. Prezentovaný softvér využíva na odhad výsledného rozdelenia Monte Carlo simuláciu. Táto metóda sa používa na analýzu neistoty a v snahe určiť náhodný rozptyl, nedostatok vedomostí alebo chybu, ovplyvňuje citlivosť, výkonnosť a spoľahlivosť modelovaného systému. Metóda Monte Carlo je považovaná za výberovú metódu, keďže jednotlivé vstupy sú náhodne generované z pravdepodobnostných rozdelení v snahe napodobniť proces vytvorenia výberu zo základného súboru. Spoľahlivosť výsledkov simulácie Monte Carlo závisí od dvoch základných faktorov. Prvým je výber vhodných pravdepodobnostných rozdelení pre vstupné charakteristiky modelu, ktoré by sa čo najlepšie zhodovali s dostupnými dátami alebo by čo najlepšie reprezentovali súčasné poznatky v danej oblasti. Druhým faktorom je množstvo pokusov v rámci simulácie. Čím viac pokusov je vykonaných, tým viac je výsledné rozdelenie podobné tomu skutočnému. Výhody softvéru Crystal Ball: Zabudované nástroje na analýzu citlivosti, ktoré poväčšine dokážu identifikovať kľúčové vstupné faktory najviac ovplyvňujúce výslednú premennú. Na základe presne a ľahko definovateľných modelov dokáže verne zhodnotiť dopady jednotlivých rozhodnutí ešte pred ich vznikom. V rámci programu sú využívané poznatky súčasné z oblasti počítačovej simulácie a modelovania. Prehľadné užívateľské rozhranie, ľahké ovládanie. Možnosť využívania veľkého množstva nástrojov bez znalosti programovania. Vysoká prepojiteľnosť s inými softvérovými riešeniami. Široké uplatnenie v jednotlivých oblastiach organizácie. Obmedzenia softvéru Crystal Ball: Schopnosť Crystal Ballu budovať jednotlivé modely je obmedzená možnosťami Microsoft Excelu. Crystal Ball má mnoho preddefinovaných nastavení a vopred nastavených algoritmov. Neznalosť jednotlivých algoritmov a dopadov preddefinovaných nastavení, môže viesť k mylnému stanoveniu predpokladov a následnému nesprávnemu odhadu výsledkov. Crystal Ball poskytuje skôr odhady ako jednotlivé riešenia. Na posledný nedostatok poväčšine poukazuje akademická obec. Mnoho teoretikov preferuje použitie takých modelov, ktoré im poskytujú iba analytické riešenia. Ak však dôjde ku konfrontácii týchto modelov s reálnymi podmienkami, ktoré by mohli zabrániť analytickému riešeniu, väčšinou sa tieto podmienky považujú za zanedbateľné. Na druhej strane však mnoho odborníkov z praxe radšej preferuje zahrnutie realistických podmienok aj za cenu iba približných výsledkov. Argumentujú tým, že približný výsledok reálneho problému je lepší než presný výsledok zjednodušeného problému, ktorý je len hrubým odhadom reality. Taktiež je podľa nich požadovaná presnosť výsledkov poväčšine podmienená množstvom jednotlivých pokusov a simulácií. 2. Metódy optimalizácie. Praktické využitie softvéru Crystal Ball bude vysvetlené na základe príkladu optimalizácie portfólia. Pre pochopenie základov, na ktorých dané softvérové riešenie stojí, je potrebné si objasniť základy optimalizácie a aj úlohu, ktorú v rámci optimalizácie zohráva

3 metaheuristika. Optimalizácia sa ako taká zaoberá hľadaním najlepšieho riešenia pre danú situáciu. To je vo všeobecnosti determinované za pomoci účelovej funkcie a súborom podmienok, ktoré ovplyvňujú hodnoty jednotlivých premenných, na základe ktorých je vytvárané rozhodnutie (rozhodovacie premenné). Jednou z najznámejších optimalizačných metód je lineárne programovanie. Tento špecifický druh programovania predpokladá, že úžitková funkcia, ako aj jednotlivé podmienky budú mať tvar lineárnej funkcie. Tieto modely dokážu nájsť riešenie aj bez vyskúšania všetkých alternatív. Komplexnosť reálnych problémov však len zriedka dovoľuje použitie lineárneho programovania. Množstvo reálnych problémov má nelineárny charakter. Optimalizáciou týchto modelov sa zaoberá metaheuristika. Oblasť metaheuristiky vznikla s cieľom poskytnúť optimálne riešenia založené na vysoko sofistikovaných matematických procedúrach a rýchlej kalkulačnej schopnosti výpočtovej techniky. Hlavným nedostatkom existujúcich optimalizačných techník bolo, že boli špecificky navrhnuté iba na riešenie zadaného problému. Metaheuristika, na druhej strane, využíva všeobecne platné princípy, ktoré sa však nezaoberajú špecifickými charakteristikami riešeného problému. To umožňuje využívať tieto techniky na riešenie širokého spektra problémov z rôznych oblastí. Keďže sa ale jednotlivé postupy nezaoberajú charakteristikami vstupov a výstupov, pokiaľ nie sú presne definované v rámci modelu, je nutné zdôrazniť potrebu, čo najpresnejšieho definovania vzťahov a funkcií modelov. Často sa totiž stáva, že neexistuje hranica medzi modelom a procesom tvorby riešenia. Ak však taká hranica existuje, je stále lepšie odseparovať proces tvorby riešenia od samotného modelu. V rámci optimalizácie portfóliá prezentované v tejto práci, bude hranica medzi modelom a jeho optimalizovaním jasná. V prezentovanom príklade bude najprv presne stanovený model. Jeho následná optimalizácia bude uskutočnená pomocou simulácie. Výhodou tohto prístupu je, že model sa môže postupne meniť, respektíve rozvíjať bez toho, aby sa menili postupy, na základe ktorých bude optimalizovaný. Je však treba zdôrazniť, že napriek určitej separácii modelu od riešenia, ciele optimalizačnej úlohy, akými sú v prípade optimalizácie portfólia maximalizácia hodnoty portfólia na konci roka, či jednotlivé podmienky, ktoré by mali byť splnené (suma váh by sa mala rovnať jednej), všetky tieto charakteristiky sú definované v rámci modelu. Optimalizačné postupy používajú výstupy zo simulácie na zhodnotenie vstupov, ktoré vchádzajú do modelu. Na základe ohodnotenia súčasného výstupu, ako aj tých predchádzajúcich, ktoré sú zahrnuté a analyzované v rámci jednej simulácie, optimalizácia rozhodne o vhodnom nastavení vstupných premenných. Optimalizačné postupy sú navrhnuté tak, aby generovali všetky možné hodnoty vstupov, ale aby aj súčasne postupne vyberali hodnoty, ktoré by čo najefektívnejšie viedli k dosiahnutiu najlepšieho riešenia. Proces optimalizácie pokračuje dovtedy, pokiaľ nie je splnená podmienka ukončenia, ktorú užívateľ poväčšine definuje počtom experimentov v rámci simulácie alebo časom simulácie Scatter Search Tri z najznámejších metód v rámci metaheuristiky sú Genetické Algoritmy (GA) a Tabu Search (TS) a Scatter Search (SS). Keďže na optimalizáciu portfólia bola použitá posledná zo zmienených metód, je dobré si ju definovať bližšie. Scatter Search je metóda, ktorá pracuje s množinou bodov, ktoré sú nazývané referenčnými bodmi. Tieto body sú vytvorené na základe vhodných riešení získaných z predchádzajúcich riešení. Metóda systematicky generuje lineárne kombinácie referenčných bodov, na základe ktorých sú následne vytvorené nové body, ktoré sú zobrazované vo vzťahu s inými dostupnými bodmi. Štruktúra referenčných bodov v každej fáze simulácie je kontrolovaná na základe metódy Tabu Search. Tabu Search je totiž postavená na využívaní adaptívnej pamäte, ktorá využíva históriu hľadania na riadenie procesu hľadania riešenia. V jednoduchosti to znamená, že adaptívna pamäť systému zabraňuje systému

4 dosadzovať tie riešenia, ktoré už boli vyhodnotené. Je však treba zdôrazniť, že využitie pamäte v rámci metódy Scatter Search je omnoho komplexnejšie a využíva tie vlastnosti pamäte, ktoré podporujú jej rôznorodosť a zintenzívnenie. Tieto vlastnosti pamäte umožňujú hľadaniu odkloniť sa od lokálne optimálnych riešení a vo väčšine prípadov dopomáhajú k nachádzaniu tých globálne optimálnych. Výhodou metódy je, že je navrhnutá tak, aby na základe hodnotení a historických hľadaní boli identifikované kľúčové pravdepodobnostné odklony. Metóda sa tak zameriava na generovanie relevantných výstupov bez toho, aby stratila schopnosť produkovať rozdielne riešenia, a to vďaka spôsobu, akým je proces generovania riešení implementovaný. Napríklad tento prístup v sebe zahŕňa generovanie aj takých bodov, ktoré nie sú konvexnými kombináciami originálnych bodov. Tieto nové body totiž môžu obsahovať informáciu, ktorá nemusí byť obsiahnutá v rámci originálnych referenčných bodov. Scatter Search je prístup založený na informáciách získaných buď na základe prehľadávania oblasti hľadania alebo na základe vhodných riešení nájdených v danej oblasti, či na základe trajektórií vedených cez danú oblasť hľadania. Kombinácia týchto faktorov vytvára efektívny proces hľadania riešení Algoritmus optimalizácie Na začiatku je nutné predpokladať, že daný optimalizačný problém je možné definovať ako n-dimenzionálny vektor x, kde xi je reálne, prípadne celé číslo ohraničenej premennej. Taktiež je nutné predpokladať, že hodnota účelovej funkcie f(x) je získaná na základe simulácie modelu, ktorý používa x na určenie hodnôt pre vstupné premenné. Následne je stanovený súbor lineárnych podmienok pre x. Algoritmus začína generovaním základného súboru referenčných bodov. Počiatočný súbor obsahuje užívateľom stanovené referenčné body a taktiež zahŕňa bod definovaný vzťahom 1. x i = l i + u i l i 2 (1) ui horný interval premennej xi li dolný interval premennej xi Po stanovení počiatočného súboru sú generované ďalšie body s cieľom vytvoriť rôznorodý súbor. Súbor je považovaný za rôznorodý vtedy, ak sa jeho jednotlivé zložky významne líšia jedna od druhej. Na vyhodnotenie toho, ako ďaleko je zvažovaný nový bod od druhého, respektíve k rozhodnutiu, či má byť spomínaný bod zahrnutý alebo vylúčený, slúži nameraná vzdialenosť medzi bodmi. Každý referenčný bod x je ešte pred svojim hodnotením podrobený testu spôsobilosti. Test spôsobilosti kontroluje bod po bode, či sú splnené lineárne podmienky stanovené užívateľom. Bod, ktorý nesplnil podmienku je následne pretransformovaný na vyhovujúci na základe formulácie a riešenia úlohy lineárneho programovania. Toto si kladie za cieľ nájsť také vyhovujúce x*, ktoré by minimalizovalo absolútny rozdiel medzi x a x*. Veľkosť súboru je automaticky upravovaný systémom, pričom sa berie do úvahy časový limit hľadania stanovený užívateľom a čas ktorý je potrebný na kompletné zhodnotenie f(x). Po vygenerovaní súboru metóda opakuje hľadanie so zlepšenými výsledkami. V rámci každej iterácie sú vybrané dva referenčné body tak, aby vytvorili štyri ďalšie body. Nech x1 a x2 sú referenčné body a x3 až x6 sú spomínané štyri vytvorené body. Potom platí nasledujúce:

5 x 3 = x 1 + d (2) x 4 = x 1 d (3) x 5 = x 2 + d (4) x 6 = x 2 d (5) kde d = x 2 x 1 3 Výber x1 a x2 je založený na hodnotách f (x1) a f(x2), ako aj na pamäťovej funkcii metódy Tabu Search. Iterácia končí nahradením najhoršieho zo základných referenčných begov tým najlepším z novovytvorených bodov a priradením ostávajúcemu základnému bodu status tabu active na daný počet období. Použitie dvoch základných bodov s týmto statusom je zakázané. Spomedzi množstva softvérových riešení tento algoritmus využíva aj softvér Crystal Bal, v rámci jednej zo svojich funkcií nazvanej OptQuest. Využitie tohto softvéru, ako aj použitie zmieňovaného optimalizačného postupu, bude vysvetlené na príklade optimalizácie portfólia. 3. Optimalizácia portfólia cenných papierov Pod pojmom portfólio cenných papierov je treba chápať zásobu rôznych cenných papierov v držbe investora. Rovnako ako u cenných papierov, sú pre portfólio dôležité dve základné charakteristiky. Sú to jeho výnosnosť a smerodajná odchýlka, ktorá je najčastejším vyjadrením rizika spojeného s investovaním do daného portfólia. V súvislosti s portfóliom je dôležitým pojmov aj jeho výkonnosť, t.j. výška prínosov, ktorú dosahuje vlastník portfólia. Z uvedeného je jasné, že prvoradým cieľom vlastníka je dosahovať maximálnu výšku prínosov. Prínosy portfólia sa v praxi označujú ako výnosnosť portfólia, ktorá je daná nasledovným vzťahom: R p = W 1 W o W o (6) W0- je agregovaná nákupná cena cenných papierov obsiahnutých v portfóliu v čase t=0 (začiatok doby držby) W1- je agregovaná trhová hodnota daných cenných papierov v čase t=1, aj s agregovanou hotovosťou (alebo jej ekvivalentom) získanou medzi t=0 a t=1 plynúcich z vlastníctva týchto cenných papierov. Na základe tohto vzťahu je možné definovať aj výnosnosť cenného papiera, ako portfólio o jednom cennom papiere. Zjednodušene povedané, premenné W0 a W1 sú nahradené nákupnou cenou cenného papiera v čase t=0 a jeho trhovou cenou v čase t=1. Problémom ale je, že v čase t=0 ešte nie je známa trhová hodnota cenného papiera v čase t=1. Z tohto dôvodu je pre investora nutné ju správne odhadnúť. Podľa jedného zo zakladateľov teórie portfólia Markowitza, by sa na výnosnosť portfólia malo nazerať ako na náhodnú premennú

6 charakterizovanú jej očakávanou hodnotou (nazývanou aj očakávaná výnosnosť) a smerodajnou odchýlkou. Investor by tak mal robiť rozhodnutia ohľadom portfólia na základe týchto parametrov, ktoré vyjadrujú jednak odmenu, ktorú môže investor získať, ako aj mieru rizika, ktoré musí podstúpiť. Investor by tak mal preskúmať všetky jednotlivé kombinácie portfólií a vybrať to, ktoré mu najviac vyhovuje. Jednou z metód na výpočet očakávanej výnosnosti je metóda, kde sú relatívne trhové hodnoty cenných papierov v portfóliu použité ako váhy. Pre N cenných papierov je tak následne definovaný vzťah: N R p = j=1 X j R i (7) Kde R p očakávaná výnosnosť portfólia X j - je zastúpenie i-tého cenného papiera v portfóliu (váha), R i - je očakávaná výnosnosť cenného papiera Keďže očakávaná výnosnosť portfólia je váženým priemerom očakávaných výnosností jeho cenných papierov, závisí príspevok každého cenného papiera k očakávanej výnosnosti portfólia od očakávanej výnosnosti tohto cenného papiera a jeho proporcionálneho podielu na počiatočnej trhovej hodnote portfólia. Na základe tohto prístupu by bolo pre investora najlepšie investovať všetko do cenného papiera, ktorý má najväčší očakávaný výnos. Takáto investícia by však bola spojená s veľkým rizikom. Preto jednotliví investori diverzifikujú svoje portfólio a investujú do viacerých cenných papierov v snahe znížiť riziko. V rámci diverzifikácie portfólia je však potrebné poznať vzťahy medzi jednotlivými cennými papiermi. K určovaniu vzťahov sa využíva korelačná analýza. Na základe tejto analýzy je investor schopný odhadnúť správanie sa jedného cenného papiera pri zmene výnosnosti ďalších cenných papierov v portfóliu. Po objasnení základných charakteristík portfólia cenných papierov je možné formulovať model Formulácia modelu V snahe optimalizovať portfólio cenných papierov je prvoradé správne zostavenie modelu a zber dát. Ako príklad bude slúžiť portfólio zložené z týchto 10 firiem: Oracle Corp.(ORCL), The Coca-Cola (KO) Company, Pfizer Inc.(PFE), Apple Inc. (AAPL),Mc Donald s Corp.(MCD), 3M Co.(MMM), Ford Motors Co (F), ebay Inc. (EBAY), Cablevision System Corporation (CVC), Gold Field Industries (GFI). Vstupné dáta do modelu budú predstavovať mesačné zatváracie ceny akcií týchto podnikov za posedných desať rokov. Konkrétne od do Tieto ceny v sebe zahŕňajú výnosy z dividend, ako aj štiepenie akcií. Prvým krokom bolo párovanie akcií na základe mesiacov a ich exportovanie do Excelu. Po ich dôslednom spárovaní sa pristúpilo k výpočtu očakávaného výnosu jednotlivých akcií. Očakávaná výnosnosť sa počítala podľa vzťahu 6, kedy zatváracia cena akcie v mesiaci

7 t bola odčítaná od zatváracej ceny v mesiaci t-1 a výsledok bol predelený zatváracou cenou v mesiaci t-1. Po týchto úpravách sa pristúpilo k tvorbe samotného modelu v rámci nového pracovného hárku. Ako prvá bola definovaná počiatočná investícia, ktorá tvorila eur. Následne boli zadefinované jednotlivé váhy. Keďže tieto váhy sa snaží proces optimalizácie portfólia odhadnúť, boli stanovené ako rozhodovacie premenné. Postup ich zadefinovania spočíval v kliknutí na záložku Crystal Ball v hlavnom menu Excelu. Následne bolo nutné označiť jednotlivé bunky a kliknúť na položku Define Decision a zadať meno akcie, ktorého váhu bude dané pole reprezentovať. Pre zjednodušenie, zatiaľ nebude uvažované s predajom na krátko. Spodná hranica bola 0% a vrchná hranica bola definovaná ako 100%. V položke type bola ponechaná hodnota continuous, čiže spojitá veličina. Po kliknutí sa farba bunky zmenila na žltú. Táto farba je v Crystal Balle definovaná pre rozhodovacie premenné. Následne bolo definovaných ďalších deväť buniek pre ostávajúce cenné papiere. Východiskové hodnoty váh pre simuláciu boli stanovené rovnako 10% pre každú akciu. Ďalším krokom bolo stanovenie očakávaných výnosností a korelácií pre jednotlivé cenné papiere. Vo väčšine deterministických modelov sú v tomto kroku napočítané priemery, smerodajné odchýlky a korelačné matice, pričom sa usudzuje, že výnosy musia mať nutne normálne rozdelenie. V rámci stochastických modelov, priemery robiť netreba, keďže Crystal Ball si očakávanú výnosnosť namodeluje na základe poskytnutých historických údajov. Z nich identifikuje pravdepodobnostné rozdelenie spomínaných výnosov. K identifikácii pravdepodobnostného rozdelenia bude použitý jeden z nástrojov Crystal Ballu zvaný Batch Fit, nachádzajúci sa na záložke Crystal Ballu v roletke s názvom tools. Po zadefinovaní oblasti dát, je nutné v ďalšom kroku obmedziť výber rozdelení na normálne a lognormálne. Tieto dve rozdelenia boli vybrané, na základe všeobecne uznaného konsenzu, že výnosy akcií sú riadené pravé týmito rozdeleniami. Na pravej strane menu je možnosť zvolenia si vhodného štatistického testu, na základe ktorého budú jednotlivé rozdelenia vyhodnocované. Výhodou je aj možnosť automatického zvolenia si testu. Táto možnosť bola vybraná aj v rámci spomínaného príkladu. Po kliknutí ďalej je nutné si zvoliť umiestnenie predpokladaných premenných a stanovenie korelácie. V rámci Crystal Ballu sa korelácie dajú vkladať ručne kliknutím na define asumption a na correlation. Tento spôsob je však veľmi zdĺhavý, hlavne pri veľkom počte predpokladaných premenných. Preto je vhodné v menu batch fit zaškrtnúť políčko define correlation between asumption... a nastaviť minimálnu koreláciu, ktorú softvér má považovať za dostatočne významnú, aby ju automaticky zadefinoval. V prezentovanom príklade softvér zadefinoval všetky korelácie medzi premennými, pokiaľ boli väčšie než 0. Následne si je možné vybrať, aký druh reportu má systém vygenerovať. Po stlačení run sa proces identifikácie rozdelenia a nastavenia korelácií začne. Batch fit pre stanovený príklad identifikoval rozdelenia prezentované na obrázku 1.

8 Correlations: ORCL KO PFE AAPL MCD MMM F Ebay CVC GFI ORCL 1,0000-0,0522 0,2633 0,4223 0,1243 0,2965 0,2131 0,4494 0,2805-0,0527 KO -0,0522 1,0000 0,2426 0,0617 0,4167 0,3334 0,2072 0,2238 0,0302 0,0984 PFE 0,2633 0,2426 1,0000 0,0294 0,3022 0,1776 0,1408 0,2512 0,3102 0,0453 AAPL 0,4223 0,0617 0,0294 1,0000 0,2437 0,2545 0,2015 0,4600 0,1777 0,2069 MCD 0,1243 0,4167 0,3022 0,2437 1,0000 0,1799 0,2680 0,2457 0,2409 0,1059 MMM 0,2965 0,3334 0,1776 0,2545 0,1799 1,0000 0,2915 0,3193 0,1958-0,0247 F 0,2131 0,2072 0,1408 0,2015 0,2680 0,2915 1,0000 0,3608 0,2541 0,0646 Ebay 0,4494 0,2238 0,2512 0,4600 0,2457 0,3193 0,3608 1,0000 0,2670 0,0611 CVC 0,2805 0,0302 0,3102 0,1777 0,2409 0,1958 0,2541 0,2670 1,0000-0,0358 GFI -0,0527 0,0984 0,0453 0,2069 0,1059-0,0247 0,0646 0,0611-0,0358 1,0000 Obrázok 1 Prehľad predpokladaných rozdelení a odhadnutých korelácií Po identifikácii rozdelení a korelácií, je vytvorený riadok s predpokladanými premenami, ktoré už v sebe majú zakomponované všetky nastavenia. V Crystal Balle majú bunky s predpokladanými premennými zelenú výplň. Ako už bolo spomínané, jednotlivé dáta pre tento príklad sú mesačné. Cieľom je však optimalizovať ročné portfólio. Preto jednotlivé predpokladané premenné musia byť stanovené pre každý mesiac. Najrýchlejší spôsob, ako to urobiť, je kliknúť v záložke Crystal Ball na možnosť copy ( ctrl-c nakopíruje nastavenia urobené Crystal Ballom), daľej označiť ťabulku 12x10 a v menu Crystal Ball stlačiť paste. Každý riadok tejto tabuľky bude predstavovať očakávané výnosnosti desiatich akcií pre jednotlivé mesiace. Tento spôsob zaručí, že nastavenia sa následne skopírujú na určené miesto. Taktiež korelácie budú definované iba v rámci daného mesiaca. Následne je nutné vypočítať výnosnosť portfólia po roku. Výnosnosť sa vypočíta podľa vzťahu 6. Treba však zadefinovať hodnotu portfólia po 12 mesiacoch. To sa určí nasledujúcim spôsobom. K hodnote investície na začiatku roka sa pripočítajú mesačné odhadované výnosnosti dané predpokladovými premennými, ktoré sú vynásobené ich váhami a hodnotou počiatočnej investície. Tak sa vytvorí konečná hodnota portfólia na konci mesiaca, ktorá je súčasne aj vstupnou investíciou pre ďalší mesiac. Vstupná hodnota pre 13. mesiac predstavuje hodnotu portfólia na konci roka. Ďalším krokom je stanovenie výslednej premennej. To je premenná, ktorej rozdelenie simulácia modeluje. Taktiež je to premenná, na základe ktorej bude vykonaná optimalizácia. V rámci príkladu bude stanovený absolútny výnos vypočítaný ako hodnota portfólia na konci roka mínus počiatočná investícia. Druhou, používanejšou charakteristikou je výnosnosť portfólia v percentách vypočítaná podľa vzťahu 6. Na to, aby softvér rozpoznal danú premennú ako výslednú, je potrebné po definovaní vzťahov stlačiť v paneli Crystal Ballu define forecast.

9 Tam treba hlavne zadať meno premennej. Bunky s výslednou premennou sú označené svetlomodrou farbou. Po nastavení výslednej premennej je model optimalizácie portfólia pripravený k simulácii. Príklad, ako by mal vyzerať pracovný hárok s modelom je prezentovaný na obrázku 2. Obrázok 2 Príklad modelu optimalizácie portfólia 3.2. Simulácia modelu Pred samotnou optimalizáciou modelu je dobré definovať rozdelenie výslednej premennej, konkrétne ročného výnosu portfólia. Správanie sa tejto premennej zistíme za pomoci simulácie. V roletke Crystal Ball konkrétne je potrebné kliknúť na run preferences a zadefinovať počet pokusov a iné vlastnosti simulácie. Spomínaný príklad bude simulovaný na základe Monte Carlo simulácie a počet pokusov bol stanovený na Po nastavení všetkých vlastností už len stačí kliknúť na Start a simulácia sa automaticky spustí. Výsledkom simulácie by malo byť rozdelenie početnosti pre ročný výnos portfólia prezentovaný na obrázku 3. Na základe tohto rozdelenia, by sa dalo predpokladať, že ak do každej z akcií bude investovaných 10% zo sumy eur, očakávaný výnos by mal byť 11,68% s mierou rizika 18,63%. Ak by sa však investor rozhodol pozmeniť váhy a investoval by napríklad len do akcií MMM, jeho predpokladaný výnos by bol 12,11% pri riziku 21,77%, čo by predstavovalo 0,43% nárastu zisku pri 3,14% náraste rizika. Z uvedeného je zrejmé, ako nepomerne sa pri zmene váh mení výnosnosť portfólia a jeho riziko. Úlohou investora je tak nájsť také váhy, ktoré by mu pri danom riziku, ktoré chce podstúpiť, ponúkli najväčší výnos. Z tohto dôvodu je potrebné portfólio zoptimalizovať.

10 Obrázok 3 Rozdelenie početnosti portfólia na základe simulácie 3.3. Optimalizácia modelu Ako už bolo spomenuté, optimalizácia portfólia slúži na hľadanie vhodných váh, na základe ktorých by mu investovanie do daných akcií prinieslo maximálny výnos pri ním stanovenom riziku. V prvom rade, by si mal teda investor zostaviť efektívnu množinu, podľa ktorej by presne vedel určiť pri akých podmienkach existujú maximálne výnosy pri jednotlivých mierach rizika. Na zostavenie takejto, v teórii nazývanej efektívnej množiny, má Crystal Ball v rámci svojho nástroja na optimalizovanie OptQuestu špeciálnu funkciu zvanú efficient frontier. Táto funkcia na základe optimalizácie načrtne investorovi, aký môže dosahovať maximálny výnos pri danom riziku. (Obrázok 5) Následne, si môže investor zvážiť, aké riziko pri akej výnosnosti je ochotný podstúpiť. Prvým krokom pri nastavení efficient frontier je nastavenie OptQuestu. V rámci OptQuestu je potrebné zadefinovať cieľ optimalizácie, prípadne požiadavky na výslednú veličinu, či požiadavky na rozhodovacie premenné. Cieľ optimalizácie sa vkladá stlačením tlačidla Add Objective a v rámci tohto príkladu bude znieť Maximize the Final Value of Ročný výnos. Tu je treba povedať, že všetky podčiarknuté charakteristiky sa dajú meniť s Maximize na akúkoľvek inú výslednú premennú (napr. Minimize, Final Value na Median a ročný výnos). Taktiež je v rámci OptQuestu možné pridať aj požiadavku pre výslednú veličinu. V uvedenom príklade sa požaduje, aby smerodajná odchýlka (riziko) ročného výnosu bolo nižšie než 100%. Pri optimalizácií nie je bežné v praxi dávať tak vysoké ohraničenie smerodajnej odchýlky, no ak má byť znázornená celá efektívna množina musí byť horné ohraničenie požiadavky vysoké. Na zadanie požiadavky do programu treba kliknúť na add requirement a vložiť nasledujúcu požiadavku The Standard deviation of Ročný výnos muss be less than 100%. Takisto, ako v prípade zadávania cieľa, aj tu sa podčiarknuté charakteristiky môžu meniť. Ak bola zadaná požiadavka alebo podmienka, tlačidlo efficient frontier by sa malo stať aktívnym. Efficient frontier totiž vytvára množinu iba na nejakom, presne stanovenom intervale. Tento interval sa zadáva v podobe požiadavky alebo v podobe podmienky. Keďže v rámci zadania optimalizačnej úlohy je potrebné zistiť maximálnu výnosnosť pri jednotlivých úrovniach smerodajnej odchýlky ročného výnosu, množina bude definovaná za pomoci požiadavky. Zadanie množiny je nasledovné. Najprv treba označiť požiadavku, na základe ktorej bude množina vytvorená. Je to podmienka, že smerodajná odchýlka ročného výnosu má byť nižšia než 100%. Potom je potrebné kliknúť na tlačidlo Efficient Frontier, čím sa pod

11 požiadavkou vytvorí nový riadok. V tomto riadku treba stanoviť maximálnu a minimálnu veľkosť množiny a dĺžku intervalu medzi bodmi. V rámci príkladu sa stanovili hranice od 0% do 100% a taktiež aby sa hodnota smerodajnej odchýlky zvyšovala po jednom percente (obrázok 4). Po nastavení množiny je treba kliknúť na next a vybrať jednotlivé rozhodovacie premenné, ktoré sa budú meniť. V príklade ide o váhy, ktorých optimálne nastavenie je potrebné zistiť. Zaškrtnutím políčka freeze pri danej premennej, bude mať po celú dobu simulácie táto premenná východziu hodnotu. V rámci príkladu nie je táto možnosť využitá ani u jednej z váh. Po výbere rozhodovacích premenných je ešte potrebné určiť podmienky simulácie. V prezentovanom modely sa nachádza iba jedna podmienka, a to, aby súčet všetkých váh bol rovný jednej. Treba preto vytvoriť bunku, ktorá bude zastupovať sumu váh. V optimalizačnom menu kliknúť na add constraint a použiť nasledovný príkaz Bunka=1. (obrázok 4). Následne už treba iba zvoliť dĺžku optimalizácie a to buď počtom pokusov alebo nastavením časovača. V príklade sa zvolila simulácia o dĺžke 20 minút. Po kliknutí na tlačidlo run sa simulácia spustí. Výsledkom je efektívna množina prezentovaná na obrázku 5. Obrázok 4 Nastavenie OptQuestu Všetky body na efektívnej množine (obrázok 5) prinášajú maximálny výnos pri danom riziku. Investor si tak na základe tejto množiny môže vybrať riziko, ktoré je ochotný podstúpiť pri danom výnose a investovať do skladby portfólia, ktoré prislúcha danému bodu. Kliknutím na bod na krivke v optimalizačnom okne sa investorovi ihneď ukáže očakávaný výnos, hodnota rizika, ako aj skladba portfólia. Investor tak nemusí vykonávať množstvo optimalizácií len preto, aby videl ako sa mení očakávaný výnos s rizikom. Na základe tejto množiny sa tak rýchlo a efektívne môže rozhodovať ohľadne svojich investícií. Príkladom je aj portfólio znázornené na obrázku 5. Očakávaná výnosnosť tohto portfólia je 72,98% pri 33% riziku. To predstavuje výraznú zmenu oproti portfóliu prezentovanom na obrázku 3. Ako z obrázku 5 vyplýva, na dosiahnutie takéhoto výnosu je potrebné približne investovať eur na nákup akcií spoločnosti Ebay, eur na nákup akcií spoločnosti Apple a eur do nákupu akcií spoločnosti Cablevision System Corporation.

12 Obrázok 5 Efektívna množina podľa Markowitza 4. Rozšírený Markowitzov model Hoci v teórii je Markowitzov model efektívneho portfólia jeden z najpoužívanejších, zahŕňa v sebe množstvo predpokladov, ktoré sa v praxi nevyskytujú. Každý investor, ktorý chce optimalizovať svoje portfólio, by si teda mal zostaviť vlastný model, ktorý by čo najpresnejšie odzrkadľoval jeho požiadavky a aktuálnu situáciu na trhu. V ďalšom príklade bude ukázaná konštrukcia modelu, ktorý na rozdiel od Markowitzovho prístupu dovoľuje predaj na krátko, uvažuje s premenlivou cenou vstupnej investície a taktiež dovoľuje investovanie do bezrizikových nástrojov ako sú vklady v bankách, či výber krátkodobých úverov splatných do jedného roka Zadanie modelu Investor má optimalizovať svoje portfólio investovaním za pomoci 10 vyššie uvedených akcií, úverom z banky alebo vkladom na účet. Počiatočná investícia investora činí eur. Táto investícia môže byť zvýšená krátkodobým úverom z banky splatným do jedného roka pri úrokovej sadzbe 1,5%. Investor taktiež nemusí investovať celú sumu do portfólia s tým predpokladom, že suma, ktorú neinvestuje sa bude po dobu jedného roka zhodnocovať na jeho účte sadzbou 1% za rok. V rámci portfólia sa počíta s nákupom akcií, prípadne ich predajom na krátko. Úlohou investora je určiť takú skladbu portfólia, ktorá mu prinesie čo najlepší ročný výnos pri stanovenej výške rizika.

13 4.2. Budovanie modelu. Základom pre tento model bude model zostavený na obrázku 2. Bude ale doplnený rozhodovacími a výslednými premennými a pridaním novej premennej, ktorú predstavuje počiatočný vklad. V prvom kroku je potrebné prestaviť rozhodovacie premenné a to konkrétne váhy jednotlivých akcií. V predošlom modely sa ich hodnoty pohybovali od 0% po 100%. Keďže tento model dovoľuje predaj na krátko, čím umožňuje predaj akcií a teda otvorenie opačnej pozície, váhy jednotlivých akcií sa môžu pohybovať od -100% po 100%, pričom záporné hodnoty predstavujú ich predaj. Na základe tejto podmienky treba zabezpečiť, aby súčet váhy, či už v predajnej alebo nákupnej pozícii, bol rovný jednej. Preto je potrebné vytvoriť bunky, ktoré budú predstavovať absolútnu hodnotu jednotlivých váh. Bunku, ktorá v predchádzajúcom modely sledovala sumu váh treba pozmeniť tak, aby sledovala sumu absolútnych hodnôt jednotlivých váh. Taktiež je treba pridať novú rozhodovaciu premennú, ktorou je počiatočný vklad. Postup vkladania rozhodovacej premennej je vysvetlený vyššie. Rozhodovacia premenná by sa mala pohybovať od 0 eur do eur. Keďže úvery a vklady sa väčšinou zaokrúhľujú na stovky eur, malo by taktiež ísť o diskrétnu premennú, ktorá sa bude meniť o 100 eur. V súvislosti s touto premenou je treba zaviesť bunku, ktorá bude stabilne označovať počiatočný kapitál, čiže eur. Výnosnosť portfólia sa potom bude určovať vzhľadom na túto hodnotu. Taktiež je treba zaviesť premennú, ktorá bude definovať hodnotu pôžičky v prípade, keď je vstupná investícia väčšia ako vstupný kapitál. Hodnota pôžičky potom bude predstavovať rozdiel medzi týmito premennými a bude úročená 1,5% úrokom, čo sa odzrkadlí v premennej vrátiť banke, ktorá bude zakomponovaná do ročného výnosu. Ďalšou premennou, ktorú je treba zaviesť sú ušetrené prostriedky, ktoré predstavujú hodnotu, ktorá nebola investovaná do portfólia. Ide o kladný rozdiel vstupného kapitálu a vstupnej investície. Tieto ušetrené prostriedky predstavujú bezrizikovú investíciu s ročným zhodnotením 1%. To sa odzrkadlí v premennej výnos z vkladu. Čo sa týka očakávaných mesačných výnosností ako aj spôsobu výpočtu hodnoty portfólia na konci roka, všetko je totožné s predchádzajúcim modelom. Na druhej strane, je treba podotknúť, že sa mení spôsob výpočtu ročnej výnosnosti portfólia. Ročná výnosnosť portfólia sa teraz vypočíta ako hodnota portfólia na konci roka plus výnos z vkladu mínus hodnota, ktorú je potrebné vrátiť banke. To všetko je predelené hodnotou vstupného kapitálu a nakoniec je odčítaná jednotka. Príklad novovzniknutého modelu je uvedený na obrázku Optimalizácia modelu Optimalizačné nastavenia pre tento model sú totožné s obrázkom 4. Boli použité rovnaké ciele, podmienky a požiadavky. Kvôli väčšiemu rozsahu rozhodovacích premenných, ako aj pridaniu jednej novej rozhodovacej premennej, sa čas optimalizácie nastavil na 2 hodiny a množina, na ktorej mal operovať efficient frontier bola nastavená tak, že sa smerodajná odchýlka, čiže riziko pohybovalo od 0% po 50%. Tieto nastavenia viedli k efektívnej množine znázornenej na obrázku 7. V rámci jednotlivých možností, by si väčšina investorov vybrala práve vyznačenú oblasť, keďže ponúka viac než 80% výnosu pri polovičnom riziku. Táto možnosť uvažuje s požičaním si 400 eur z banky a z 9048 eurami investovanými do nákupu akcií Ebay. Taktiež by na základe portfólia bolo vhodné investovať 4016 eur do akcií spoločnosti Ford. Do organizácií ako Pfizer, Cablevision System Corporation či Gold Field Industries by bolo treba investovať po 2008 eur. Najmenej peňazí by sa malo investovať (iba

14 1004 eur) do spoločnosti Apple. Akcie ostatných organizácií netreba kupovať alebo predávať vôbec. Na obrázku 7 je jasne ukázané, aká rôznorodá môže byť skladba portfólia a ako optimalizácia za pomoci efektívnej množiny dopomáha určiť tú najvhodnejšiu skladbu. Obrázok 6 Model komplexného príkladu Obrázok 7 Efektívna množina komplexného príkladu

15 5. Záver: Prezentovaná práca sa zoberá využitím programu Crystal Ball na optimalizáciu portfólia akcií. Úvod práce je venovaný charakteristike programu Crystal Ball a jeho využitiu. Keďže ide o program, ktorý simuluje stochastické premenné, ktoré sú neskôr optimalizované na základe metódy Scatter Search, sú ďalej v rámci práce definované pojmy ako simulácia a optimalizácia. Následne je vysvetlený algoritmus Scatter Searchu. Druhá časť práce sa venuje optimalizácií portfólia. Na princípe Markowitzovej efektívnej množiny je ukázané, ako sa dá optimalizovať portfólio za pomoci funkcie efficient frontier v rámci nástroja OptQuest. Práca sa v závere venuje optimalizácii portfólia pri nedodržaní niektorých Markowitzových predpokladov. Technika optimalizácie cez efficient frontier sa ukázala veľmi efektívna a prehľadná v rámci optimalizácie portfólia. Umožňuje investorovi vidieť všetky dostupné portfólia, na základe ktorých môže dosahovať maximálny výnos, pri danom riziku. Po výbere vhodného portfólia investor automaticky zisťuje jeho skladbu. Investor tak vo veľmi krátkom čase môže urobiť efektívne rozhodnutie. Komplexný príklad prezentovaný na konci práce, taktiež naznačuje, že tvorba modelov pre optimalizáciu portfólia na základe veľmi špecifických podmienok je limitovaná iba schopnosťami investora. Literatúra [1.] Glova J. (2009) Analýza Portfólia Slovensko: Technická Univerzita v Košiciach [2.] Charnes J. (2007) Financial modeling with crystal ball. New York: John Wiley & Sons. [3.] Laguna, M. (1997) Optimization of Complex Systems with OptQuest, Graduate School of Business, University of Colorado. [4.] Martí R., Laguna M., Glover F. (2006) Principles of scatter search In: European Journal of Operational Research, č. 169 str