Programiranje dreves

Transcription

1 Zavod sv. Stanislava Škofijska klasična gimnazija Programiranje dreves Maturitetna seminarska naloga iz informatike Kandidat: Tomc Matej Mentor: Medvešek Helena Ljubljana Šentvid, šolsko leto 2014/2015

2 Ključne besede Drevesa, podatkovne strukture, Python Povzetek Ta projektna naloga se osredotoča na podatkovne strukture s poudarkom na hierarhičnih podatkovnih strukturah drevesih. V uvodu je vsebovana obširnejša poljudna razlaga in klasifikacija podatkovnih struktur ter njihova uporaba in pomen. Temu sledi poglobljena obravnava drevesnih struktur na teoretični ravni, nazadnje pa še ročna implementacija binarnega iskalnega drevesa v programskem jeziku Python. Implementaciji sta dve in se razlikujeta po principu urejanja podatkov; ena jih povezuje med seboj, medtem ko jih druga urejeno shranjuje v seznam. Abstract The focus of this project is on data structures concentrating especially on hierarchical data structures trees. The first part talks about data structures in general their classification and the usage of each and is followed by a thorough explanation of tree data structures, spending most of its time on binary search trees. The initially theoretical solution is later manually implemented in Python programming language. There are two implementations of the solutions which diverge in the principles of implementation. While the first is implemented in a more common way by connecting elements that point to one another, the other one is array-based. Stran 2

3 Kazalo Povzetek... 2 Abstract... 2 Ključne besede Uvod Predstavitev problema Razlaga Okvirna metodologija Cilji naloge Uporabljena tehnologija Strojna oprema Programska oprema Zbiranje podatkov Teoretična rešitev Splošno o podatkovnih strukturah Pomen uporabe primerne podatkovne strukture za učinkovito rešitev Vrste in osnovne lastnosti podatkovnih struktur Hierarhične podatkovne strukture drevesa Besednjak Definicija splošnega drevesa Klasifikacija dreves Praktična rešitev Prva implementacija binarnega iskalnega drevesa Splošno binarno drevo Stran 3

4 3.1.2 Binarno iskalno drevo Druga implementacija binarnega iskalnega drevesa Prvi in drugi pristop Razlike pri implementaciji Prednosti in slabosti druge implementacije Praktična uporaba mojih dveh implementacij Kratka navodila za uporabo Sklep Ocena uspešnosti naloge Moţnosti izboljšav Izboljšava naloge Izboljšava programa Stvarno kazalo Viri in literatura Kazalo slik Slika 1: Različna binarna drevesa. (Lambert, str. 742, 2009) Slika 2: Levelorder obhod Slika 3: Preorder obhod Slika 4: Postorder obhod Slika 5: Inorder obhod Priloge Izvorna koda v programskem jeziku Python Stran 4

5 1 Uvod 1.1 Predstavitev problema Razlaga V zadnjem času veliko svojega časa namenjam programiranju s poudarkom na tekmovalnem programiranju. Poleg dobro domišljenega algoritma pa naloga od mene zahteva za učinkovito rešitev tudi uporabo primerne podatkovne strukture. Ko se spoprijemam z vedno teţjimi in teţjimi nalogami, pa mi moje znanje, ki je bolj kot ne omejeno na linearne in neurejene podatkovne strukture, pogosto ne zadostuje več. Prav zato sem si za cilj projektne naloge zadal, da podrobneje spoznam hierarhične podatkovne strukture drevesa Okvirna metodologija Nalogo sem reševal v treh večjih sklopih. Najprej sem s študijem izbrane literature skušal pridobiti čim več potrebnega teoretičnega znanja, ki sem ga nato popisal v nadaljevanju naloge. Ţe sama ta naloga mi bo kasneje lahko sluţila kot zbirka znanja za ponovitev in razlago drugim. Nato sem svoja teoretična dognanja skušal še praktično uporabiti. Kodo sem spisal v programskem jeziku Python. Na koncu sem vse svoje implementacije podatkovnih struktur še testiral in jih primerjal z drugimi implementacijami Cilji naloge Moja naloga si ne zadaja za cilj široke druţbene uporabnosti, ampak so cilji predvsem osebne narave. Glavni cilj naloge je poglobitev mojega znanja na področju dreves. Posledično to prinaša tudi razširitev mojega programerskega znanja na področje objektnega programiranja in nenazadnje poglobitev znanja programskega jezika Python, ki ga bom uporabljal. Uporabno vrednost nalogi pa prinaša tudi dejstvo, da bom lahko nalogo uporabil kot pripomoček pri poučevanju programiranja, saj delujem kot somentor programerskega kroţka na svoji šoli in bom lahko znanje prenašal tudi na nadaljnje rodove. Stran 5

6 1.2 Uporabljena tehnologija Strojna oprema Pri izdelovanju projektne naloge sem ves čas uporabljal svoj prenosni računalnik. Njegova podrobnejša sestava je prikazana v sledeči tabeli: Tabela 1: Tehnične podrobnosti za prenosnik Lenovo IdeaPad G710 Procesor Grafična kartica Zaslon Intel Core i7 NVIDIA GeForce 820M, DDR3, 2GB 17,3" HD+ ( ) Glare LED Display Programska oprema Celotno projektno nalogo sem izdeloval na 64-bitnem operacijskem sistemu Windows 7 Professional. Za urejanje besedila seminarske naloge sem uporabljal MS Word (2010). V besedilu uporabljene slike sem obdelal v programu MS Picture Manager. Za pisanje kode za spletno predstavitev izdelka sem uporabljal Notepad++, za testiranje pa sem nato uporabljal brskalnike Google Chrome, Mozila Firefox in Internet Explorer. Te brskalnike sem prav tako uporabljal pri iskanju virov za seminarsko nalogo. Pri praktičnem delu sem uporabljal Python verzije 3.3.5, za katerega kodo sem pisal in testiral v programu IDLE (Python GUI). 1.3 Zbiranje podatkov Teţko bi trdil, da sem vse podatke, ki sem jih potreboval za izdelavo svoje projektne naloge, zbral v spodaj navedenih virih in literaturi. Dejstvo je, da ţe tretje leto obiskujem programerski kroţek na svoji šoli in se tudi redno udeleţujem programerskih tekmovanj, tako da mi področje zagotovo ni tuje, a znanje, ki sem ga do zdaj pridobil, mi je dalo le meglene obrise teme, ki sem se je odločil za projektno nalogo bolje raziskati. Do sedaj pridobljeno znanje mi je torej sluţilo kot dobra osnova, na kateri sem lahko gradil. Nato sem se lotil branja knjig. Knjige so same po sebi sicer precej drage, a so mi na Stran 6

7 pomoč priskočili prijatelji, od katerih sem si jih lahko izposodil, tako sem prebral zajeten kos knjige Introduction to Algorithms, pa tudi vsa relevantna poglavja knjige Fundamentals of Python, From First Programs through Data Structures. Opremljen s tem znanjem sem začel z reševanjem problema. Kljub vsemu pridobljenemu znanju so se mi na poti do rešitve še vedno postavljale prepreke. V teţavah sem se pogosto obrnil na spletno stran kjer so ljudje s podobnimi teţavami ţe zastavili podobna vprašanja in tako sem tudi sam dobil zadosten odgovor na svojo teţavo. Stran 7

8 2 Teoretična rešitev 2.1 Splošno o podatkovnih strukturah Pomen uporabe primerne podatkovne strukture za učinkovito rešitev Naloga vsakega programerja je, da napiše program, ki bo uspešno deloval. Spisati tak program, ki nek problem rešuje navadno niti ni tako teţko, zelo zahtevno pa je poiskati tako rešitev, da program naš problem razreši kar se da učinkovito. Bistvena kriterija učinkovitosti sta predvsem čas, ki ga računalnik porabi za izračun rešitve, ter prostor, ki ga za delovanje potrebuje zase na pomnilniku. Pri programu je torej potrebno, da poleg najboljšega algoritma za rešitev določenega problema uporabimo tudi primerno podatkovno strukturo, saj do v računalniku različno predstavljenih podatkov lahko dostopamo različno hitro. Primer tega je primerjava seznama (list) in množice (set). Zaradi različne implementacije lahko iz seznama s konca jemljemo elemente v konstantnem času, medtem ko je jemanje iz mnoţice odvisno od števila elemetnov v njej in se zgodi v logaritemskem času. Po drugi strani pa je preverjanje ali je element v mnoţici prav tako traja log(n) časa, medtem ko je v seznamu tako preverjanje linearno odvisno od števila elementov v njej. Poleg tega tudi seznam shranjuje mesta na katerih se nahajajo podatki, medtem ko mnoţica tega ne omogoča podatek ali je element mnoţice ali pa ni. Iz zgornjega opisa lahko vidimo, da so nekatere podatkovne strukture primernejše za neko rešitev, za drugo pa so primernejše druge, saj je njihova umestnost odvisna od tega, kaj želimo s podatki početi. Če na primer ţelimo predvsem ugotavljati, ali smo nek podatek do sedaj ţe videli ali ne, potem je za nas vsekakor primernejša mnoţica, če pa ţelimo predvsem shranjevati podatke in jih nato vračati glede na to, kdaj smo podatek shranili, pa je mnoţica neustrezna podatkovna struktura in je bolj modro uporabiti seznam, sklad, dvojno vrsto,... Stran 8

9 2.1.2 Vrste in osnovne lastnosti podatkovnih struktur V osnovi podatkovne strukture po obliki delimo na: Tabela 2: Primerjava različnih podatkovnih struktur Vrsta Lastnosti Primeri Primeri iz vsakdanje rabe Vedno ima Linearne predhodnika (razen prvi) in naslednika Vrsta (queue), sklad (stack) Vrsta ljudi na banki, kupček kart (razen zadnji) Vsak element ima Sistem datotek in Hierarhične natanko enega starša (razen najvišjega), in Drevesa map na disku, organizacija poljubno število otrok funkcij v podjetju Element je povezan s Grafi poljubnim številom Grafi avtokarte drugih elementov Vrečka frnikul, Neurejene Elementi med seboj niso povezani ali kakorkoli razvrščeni. So le del iste mnoţice Vreča(bag), mnoţica (set), slovar (dictionary) enako kot mnoţice pri matematiki, slovar, štetje pogostosti dogodkov Stran 9

10 2.2 Hierarhične podatkovne strukture drevesa Besednjak Tabela 3: Pomembni izrazi s področja dreves Slovenski izraz Angleški izraz Razlaga Vozlišče Node Element v drevesu Povezava Link/Branch/Edge Črta, ki povezuje dve vozlišči Koren Root Najvišje vozlišče v drevesu, ki je edino brez očeta Sin Child Vozlišče pod izbranim vozliščem, ki je z njim neposredno povezano. Vsako vozlišče ima lahko več sinov. Oče Parent Vozlišče nad izbranim vozliščem, ki je z njim neposredno povezano. Vsako vozlišče ima natanko enega očeta (razen korena) Siblings Sinovi istega očeta. List Leaf Vozlišče brez sinov. Notranje vozlišče Interior node Vozlišče z vsaj enim sinom. Potomec Descendant Potomec izbranega vozlišča je vozlišče samo in vsi potomci njegovih sinov. Prednik Ancestor Prednik izbranega vozlišča je vozlišče samo in vsi predniki njegovega očeta. Pot Path Zaporedje povezav, ki povezuje vozlišči, ki sta v razmerju prednik potomec. Dolţina poti Path length Število povezav na poti. Stran 10

11 Nivo Depth/level Dolţina povezave od korena do izbranega vozlišča 1. Višina Height Dolţina najdaljše poti. Poddrevo Subtree Drevo, ki ga dobimo, če upoštevamo le izbrano vozlišče in vse njegove potomce, pri čemer postane izbrano vozlišče koren novonastalega drevesa. Stopnja Degree Število sinov izbranega vozlišča Definicija splošnega drevesa Najprej naj podam definicijo, ki ustreza vsakršnemu drevesu. Splošno drevo je ali prazno ali pa ga sestavlja končna mnoţica vozlišč T. Eno izmed vozlišč r se razlikuje od vseh ostalih in se imenuje koren (root). Poleg tega je mnoţica T {r} razdeljena na podmnoţice, izmed katerih je vsaka splošno drevo. (Lambert, str. 736, 2009) Definicija je rekurzivna, kar se pri drevesih pojavlja pogosto. Vendar to ni edina definicija, ki se pojavlja v literaturi. Drug način definicije je prehod na drevesa s področja grafov. V tem smislu bi lahko najbolj splošno drevo definirali takole: Prosto drevo (free tree) je povezan, neusmerjen graf brez ciklov.... Če je graf neusmerjen in nima ciklov, vendar je nepovezan, potem je to gozd (forest). (Introduction to Algorithms, str. 736, 2009) Iz tega je kasneje mogoče izpeljati še mnogo zelo uporabnih lastnosti, ki nam pomagajo pri prehodu s področja grafov na področje dreves. Vendar pa v svoji nalogi nisem veliko govoril o grafih in zato sem se odločil, da dreves ne razlagam s pomočjo grafov, ampak posebej. Tako bomo privzeli, da je vsako drevo, o katerem bom v nadaljevanju govoril, splošno oz. ukoreninjeno drevo (rooted/general tree). 1 V drugi literaturi tudi: število vozlišč na poti od korena do izbraninega vozlišča, vključno s korenom in zadnjim vozliščem, torej so vsi nivoji za 1 večji kot v prvotni definiciji. V svoji nalogi se vom držal prvotne definicije. Stran 11

12 2.2.3 Klasifikacija dreves Ordered trees: Gre za splošna drevesa, pri katerih pa je vrstni red sinov pomemben. Sinove štejemo od leve proti desni. Tako je pri k sinovih skrajno levi sin prvi, desno od njega drugi in skrajno desno k-ti. Positional trees so drevesa katerih sinovi so oštevilčeni od ena do i. k-ary trees (k-terna drevesa) so positional trees, pri katerih ima vsako vozlišče največ k sinov. Najpogostejše drevo te vrste, ki ga srečamo v programiranju je binarno drevo. Zanj je značilno, da ima vsako vozlišče največ dva sinova. K-ary drevo lahko definiramo tudi takole: Bodisi je drevo prazno, bodisi ga sestavlja koren in k sinov, izmed katerih je vsak k-ary drevo. Pogosto ta drevesa še natančneje opišemo kot: Unbalanced: neuravnovešena Perfectly balanced: popolnoma uravnovešena - povsem zapolnjena na vseh nivojih, razen na zadnjem Complete: popolnoma uravnovešena z dodatnim pogojem, da so na najniţjem nivoju vsi sinovi umeščeni kar se da levo. Full: do nekega nivoja povsem zapolnjena drevesa, oz. vsi list drevesa so na istem nivoju. Slika 1: Različna binarna drevesa. (Lambert, str. 742, 2009) Stran 12

13 Poleg do sedaj naštetih dreves pa srečamo še raznorazna druga drevesa, ki so večinoma implementacije binarnega drevesa, dodelane, da sluţijo svojemu namenu. To so med drugim: Binarna iskalna drevesa, ki jih uporabljamo za urejanje vrednosti. Kopica, ki jo uporabljamo sortiranje s kopico (heapsort), pa tudi za implementacijo prioritetne vrste AVL in rdeče črna drevesa, ki so na tak način implementirana binarna drevesa, da ves čas ostajajo uravnovešena B drevesa Stran 13

14 3 Praktična rešitev 3.1 Prva implementacija binarnega iskalnega drevesa Implementacijo binarnega drevesa lahko opravimo na več načinov. Nekatere so seveda hitrejše od drugih, a od vsega najpomembneje je, da sledimo definiciji binarnega drevesa, tako da naše binarno drevo res deluje tako kot mora in da naša implementacija ponuja tudi primerne metode za delo z na ta način shranjenimi podatki. Podatkovna struktura je uporabna namreč le, če lahko poleg shranjevanja podatkov vanjo potem tudi do teh podatkov spet dostopamo, jih (pri določenih podatkovnih strukturah) spreminjamo, Splošno binarno drevo Osnovna zgradba Po definiciji je binarno drevo bodisi prazno, bodisi ga sestavlja koren in dva sinova (levi in desni), ki sta oba binarni drevesi. Da mi bo pri delu laţje, bom definiral dva razreda: prazno drevo in binarno drevo, ki je gotovo polno. Prazno drevo je pravzaprav le pomoţna podatkovna struktura, ki mi bo sluţila, da bo ves čas zadoščeno definiciji. To bo interna struktura, do katere ostali uporabniki moje kode ne bodo mogli dostopati. Prazno drevo bom torej vedno obešal na mesta, kjer nimam podatkov, a po definiciji tam morata biti in levi in desni sin, in ker prazno drevo po definiciji spada med binarna drevesa, bo tako ves čas zadoščeno definiciji. Nato bom tako za prazno kot za splošno binarno drevo definiral potrebne metode. Vedeti je sicer treba, da prazno drevo ne more podpirati vseh metod, a jih moram vseeno definirati, ker jih uporabnik lahko kliče na kateremkoli binarnem drevesu, torej tudi na praznem. Stran 14

15 Standardne metode, pomembne za nek objekt Skoraj vsak objekt je mora imeti definiran konstruktor. V programskemu jeziku Python je to def init (*args):. Ta funkcija se pokliče vedno, kadar je ustvarjen nov primerek tega razreda. Sprejme lahko nekaj argumentov, ki jih porabi za tvorjenje novega primerka, ali pa tudi ne. Druga standardna metoda, ki jo skoraj vsaka podatkovna struktura mora imeti, je izpis podatkov. V Pythonu funkcija print na nekem objektu vedno pokliče metodo str (self):, ta pa naš objekt spremeni v niz znakov, ki jih je mogoče izpisati na zaslon. Naslednja zelo uporabna metoda, ki jo moram definirati, če ţelim, da je moje binrano drevo kolikortoliko uporabno, je metoda iter (self):. To je metoda, ki se pokliče, ko čez nek objekt pošljem for zanko. Za svoje drevo ţelim, da v čim bolj logičnem vrstnem redu vrača vrednosti, za to bo for zanka uporabljala obhod inorder, ki ga bom razloţil v nadaljevanju. Najosnovnejše specifične metode Metode, ki jih moje binarno drevo ima, nam omogočajo: Preverjanje praznosti drevesa, Dostop do korena, levega in desnega sina, Nastavitev korena, levega in desnega sina na poljubno vrednost, Odstranitev levega oz. desnega sina iz drevesa (ko govorim o odstranitvi so to vselej neprazna poddrevesa, saj so prazna drevesa le oznake za luknje in jih uporabljamo prav za to, da namesto dosedanjega poddrevesa na ta mesta postavljamo luknje) Stran 15

16 Obhodi binarnega drevesa Bolj prefinjene metode so obhodi binarnega drevesa. V tem primeru ne dostopamo le do enega vozlišča, temveč je v igri dostop do vozlišč drevesa v določenem vrstnem redu. Vrednosti teh vozlišč nato za potrebe nadaljnjega dostopa zapišem v seznam. Poznamo štiri osnovne obhode dreves: 1. Levelorder Ta razvrstitev nam pove, kako si sledijo vozlišča po stopnjah od korena navzdol, pri čemer ob obisku vsakega nivoja najprej obiščemo skrajno levo vozlišče, nato pa se pomikamo proti desni. Slika 2: Levelorder obhod 2. Preorder Tokrat najprej obiščemo vrh, se nato pomikamo v levo poddrevo in nazadnje še v desno. Ko se premaknemo v levo oz. desno poddrevo pa bomo tam spet izvedli preorder obhod. 3. Postorder Obhod postorder deluje tako, da najprej obiščemo skrajno levo vozlišče nekega drevesa, se nato sprehodi do skrajno desnega vozlišča tega poddrevesa in šele ko po prvih dveh kriterijih ne more priti nikamor več, se doda vrednost vozlišča kjer trenutno smo in vse skupaj se rekurzivno razreši. Slika 3: Preorder obhod Slika 4: Postorder obhod Stran 16

17 4. Inorder To je v resnici najpogostejši obhod binarnega drevesa. V primeru, da gre za posebno obliko binarnega drevesa (binarno iskalno drevo), ki jo bom pojasnil v nadaljevanju, pa tudi vrne zaporedje elementov, ki je urejeno naraščajoče. Obhod inorder poteka takole: najprej obhodim z obhodom inorder celotno levo poddrevo, če Slika 5: Inorder obhod seveda le to obstaja, nato obiščem koren, nazadnje pa obhodim še desno poddrevo. V praksi to pomeni, da se v začetku pomaknem kolikor levo je le mogoče, nato se dvignem za en nivo do svojega trenutnega očeta, se spustim v desno poddrevo in ponavljam postopek, dokler niso bila obiskana ţe vsa vozlišča. Stran 17

18 Uporabne lastnosti binarnega drevesa Uporabnost navadnega binarnega drevesa je zelo omejena. Splošno binarno drevo nam omogoča dostop do poljubnega vozlišča v logaritemskem času. To je bolj ali manj res, saj je lahko drevo povsem neuravnoteţeno in zato izgleda povsem linearno. V tem primeru se moramo sprehoditi preko vseh vozlišč, če ţelimo dostopati do ţelenega, in tako je čas dostopa v resnici linearno odvisen od števila elementov v drevesu. Ta lastnost pa nima trenutno za nas še nobenega pomena, saj moramo tako ali tako na pamet vedeti celotno pot do vozlišča, če ga ţelimo obiskati. Tako drevo torej še ni najbolj primerno za uporabo. Zato bomo naše binarno drevo nadgradili. S pomočjo nekaterih dodatnih pravil bom splošno binarno drevo spremenil v binarno iskalno drevo Binarno iskalno drevo V osnovi je binarno iskalno drevo le neko posebno binarno drevo, torej mora še vedno slediti definiciji splošnega binarnega drevesa. V praksi to pomeni,da bom za okostje implementacije binarnega iskalnega drevesa uporabil svoje ţe spisano binarno iskalno drevo. Dodatni kriteriji Dodatni kriterij, ki razloči med čisto splošnim binarnim drevesom in binarnim iskalnim drevesom, je ta, da v binarnem iskalnem drevesu velja pravilo, da mora vsak element, ki je manjši od korena leţati levo od korena, vsak večji element pa desno od korena. Kadar je element enak korenu, pa je odločitev o razporeditvi tega elementa v drevo odvisna od programerja. V svoji implementaciji sem izbral, da se vsi enaki elementi razporejajo levo. Seveda to isto pravilo velja tudi za vsa poddrevesa nekega binarnega iskalnega drevesa. Omejitev, ki jo s seboj prinaša ta pogoj, je, da v isto binarno iskalno drevo ni mogoče uvrstiti takih podatkov, ki jih med seboj ni mogoče primerjati oz. urediti po velikosti. Osnovne metode Vse osnovne metode razen inicializacije svojega drevesa bom prevzel od splošnega binarnega drevesa. Le metoda def init (self,vred=none): je tokrat malce drugačna. Ima spremenljivko self._drevo. Do sedaj sem namreč katerokoli svojih binarnih dreves obešal drugega na drugo, binarnih dreves pa ne morem poljubno obešati drugega na drugo zaradi posebnih pravil ureditve vozlišč. Enaki so tudi obhodi drevesa. Lepa lastnost, ki Stran 18

19 pa se sedaj zaradi dodatnega kriterija pojavi, pa je, da pri obhodu inorder do elementov dostopamo v naraščajočem vrstnem redu. Dodatne funkcije binarnega iskalnega drevesa Binarno iskalno drevo kot izboljšava splošnega binarnega drevesa v svoji implementaciji ponuja tudi metode, ki so pri splošnem binarnem drevesu morda manjkale. To so: Iskanje elementa, s tem pa tudi preverjanje, ali nek element je v našem binarnem iskalnem drevesu ali ne. Iskanje je v tem primeru zelo hitro, saj mora računalnik preveriti precej manj kot vse moţnosti. Na vsakem nivoju se namreč primerja s korenom in vedno pri pregledovanju zavije v pravo smer in pregleduje le še bodisi levo bodisi desno poddrevo. Z vsako tako vejitvijo pa se število kandidatov seveda prepolovi. Tako iskanje seveda vrne le, ali nek element je v drevesu ali ne, saj ne preiskuje celega drevesa še naprej, da bi našlo podvojitve. Dodajanje elementa. Poteka podobno hitro kot iskanje. Poiščem namreč prvi prazen prostor, kjer bi se lahko nahajal novi element in tja pripnem binarno drevo s tem elementom za koren. Odstranitev elementa. Ta metoda je bila za implementacijo najzahtevnejša. Pri odstranjevanju lahko namreč nastanejo teţave, sploh če odstranjujemo nek element, ki je nekje sredi drevesa. V tem primeru moramo seveda preiskati poddrevo in najti ustrezno zamenjavo za naš odstranjeni element, ki pa mora biti taka, da poddrevo, katerega koren je bil odstranjeni element, še vedno zadosti definiciji binarnega iskalnega drevesa. Uporabne lastnosti binarnega iskalnega drevesa Največja uporabna vrednost, ki jo omogoča binarno iskalno drevo glede na splošno binarno drevo, je gotovo urejenost elementov v njem. Ta s seboj prinese tudi veliko uporabno vrednost binrnega iskalnega drevesa. V kombinaciji z logaritemskim časom dostopa in dodajanja elementov, je torej binarno iskalno drevo zelo uporabno tudi za sortiranje. Stran 19

20 3.2 Druga implementacija binarnega iskalnega drevesa Po prvi implementaciji sem jo ţelel primerjati z ţe vdelano implementacijo binarnega iskalnega drevesa. Toda pojavila se je teţava, da nikjer nisem našel popolnoma primerljive implementacije. Vse ţe spisane oz. ţe vgrajene različice binarnih dreves so še korak naprednejše od moje implementacije. Za bolj učinkovito delo s podatki se namreč v praksi ne uporablja binarnega iskanega drevesa v tej obliki, temveč bolj dodelana AVL ter rdeče-črna drevesa. Ker torej nisem našel nobene primerljive implementacije, sem se odločil da bom sam opravil še eno implementacijo, tokrat s povsem drugačnim pristopom in bom nato primerjal ta dva pristopa Prvi in drugi pristop Ko sem k problemu pristopal prvič sem drevo računalniku predstavil nekako takole. Imamo neko vozlišče, ki pa ima tudi dve povezavi. Ti dve povezavi kaţeta navzdol na sinova tega vozlišča, ki sta prav tako drevesi. Edina drevesa brez sinov pa so bila prazna drevesa, ki so sluţila kot prazni listi. Binarno iskalno drevo sem tudi vpeljeval posredno, pri čemer je uporabna tudi vsaka vmesna stopnja implementacije, saj lahko od tam dalje nadaljujem še naprej v drugo smer. Pri drugi implementaciji pa sem se lotil problema povsem drugače. Binarno iskalno drevo sem predstavil z enim samim seznamom, v katerem so po določenih pravilih razporejene vrednosti in sicer na način, da lahko za vsako vozlišče povem, kdo je so predniki oziroma nasledniki tega vozlišča. Drevesasto obliko sem torej zravnal v linearno, kar pa seveda za hierarhično strukturo ni najbolj primerno in je za sabo potegnilo tudi veliko teţav pri implementaciji. Ta omejenost je tudi botrovala moji odločitvi, da sem implementiral direktno binarno iskalno drevo brez kakšnih posebnih predstopenj implementacije Razlike pri implementaciji V povsem tehnične podrobnosti se ne bom zapletal. Najpomembnejša razlika je najbrţ ta, da morajo biti vsi nivoji do ko na popolnjeni, v kolikor ţelimo drevo predstaviti računalniku na pravilen in enoličen način. Vsa manjkajoča vozlišča v drevesu zato nadomeščam z None, to je takim tipom podatka, ki prav nakazuje manjkanje resničnega podatka v tistem polju. To pa za seboj potegne veliko lastnosti, o katerih več v nadaljevanju. Stran 20

21 Druga razlika je implementacija metode str (self):. Drugačen zapis podatkov v računalniku mi prinaša tudi moţnost drugačnega izpisa. Razlika je tudi v odstranjevanju elementov iz drevesa. Zlasti so se tu pojavljale teţave vkolikor je bilo potrebno izbrisati vozlišče z enim samim sinom. Takrat v prvi impementaciji preprosto popravim kazalec na neko drugo vozlišče, tu pa bi moral celotno poddrevo prepisati na druga mesta v seznamu. Ker je to zamudno sem se odločil za rahlo drugačen pristop. Na mesto prepišem vrednost edinega sina in poskušam raje odstraniti sina, kar mogoče ne bo zahtevalo predstavitve v vrednosti drevesa. Kar je najpomembneje pa je, da drevo kljub odstranitvam še vedno sledi definiciji, kar pa se zgodi tako v prvi kot v drugi implementaciji Prednosti in slabosti druge implementacije Prednosti druge implementacije so bolj borne. Ta implementacija je smiselna namreč bolj ali manj le za complete binarna drevesa. Preprost je recimo izpis obhoda levelorder, saj so podatke ţe tako ali tako predstavljeni v tabeli in sicer v točno takem vrstnem redu, kot poteka levelorder, le da se vmes pojavljajo nepotrebni None, ki označujejo manjkanje nekega vozlišča do popolnjenosti tega drevesa na danem nivoju. Vendar pa vsiljivce hitro odstranimo in obhod levelorder je hitro opravljen. Napolnjenost drevesa, četudi z None, pa prinaša še eno estetsko prednost. Drugačna implementacija mi omogoča za majhna drevesa precej preglednejše izpise dreves. Kot prednost se pokaţe tudi hiter dostop do vseh prednikov oz. naslednikov nekega vozlišča, v kolikor je to res naš namen (ne prav pogosto pri binarnih iskalnih drevesih). Ima pa polnjenje drevesa z None tudi svoje velike slabosti. Neko drevo, ki je zelo nerazvejano a globoko, lahko zasede ogromno prostora povsem brez pomena. Druga slabost, ki sem jo občutil bolj jaz kot programer, kot pa to občuti zunanji uporabnik moje kode, pa je, da je zaradi hierarhične narave dreves njihove lastnosti dokaj teţko prenesti na en sam seznam. Tudi lepota izpisa se pri ne prav popolnjenih drevesih izgubi in izpis postane dokaj slabo berljiv. To sicer ni splošna slabost take implementacije, le moja odločitev izpisa drevesa ki je v pravih primerih zelo uporabna. Stran 21

22 3.3 Praktična uporaba mojih dveh implementacij Vedno si v objektnem programiranju prizadevamo, da je ne glede na naše odločitve o implementaciji uporabniku vedno omogočena preprosta uporaba naših objektov. Navzven naj se ne bi videlo razlik v implementaciji, razen morda v tem, da so nekatere implementacije na izbranih primerih hitrejše od drugih. K temu sem stremel tudi sam. Prav zato sem tudi spisal navzven povsem identične funkcije, vsaj tiste, s katerimi se v praksi srečuje uporabnik. Edina razlika se pokaţe, ko uporabnik poskuša izpisati drevo na zaslon. V tem primeru sem se pri vsaki implementaciji odločil za drugačen pristop Kratka navodila za uporabo Binarna iskalna drevesa so načeloma zelo preprosta za uporabo. Najprej mora uporabnik uvoziti mojo kodo v svoj program, nato pa so vse kar potrebuje uporabnik le še klici naslednjih metod: Da ustvari nov primerek razreda: o nekodrevo = bst(), če v začetku ţeli prazno binarno iskalno drevo o nekodrevo = bst(podatek), če ţeli, da se ustvari binarno iskalno drevo, katerega koren nosi vrednost podatek nekodrevo.isci(podatek), če ţeli ugotoviti, ali se nek podatek nahaja v drevesu nekodrevo.dodaj(podatek), če ţeli v drevo dodati nov podatek. Ta se nato samodejno uvrsti v drevo nekodrevo.odstrani(podatek), če ţeli nek podatek odstraniti iz drevesa nekodrevo.jeprazno(), če ţeli ugotovit, ali je v drevesu kak podatek nekodrev.nekobhod(), pri čemer nekobhod zamenja s katerimkoli izmed štirih prehodov. len(nekodrevo), ki vrne število elementov v drevesu. Poleg teh metod je mogoče tudi iterirati po drevesu z zanko for, pri čemer de uporablja inorder obhod drevesa. Stran 22

23 Stran 23

24 4 Sklep 4.1 Ocena uspešnosti naloge S svojim izdelkom sem zadovoljen, saj sem v veliki meri dosegel vse zastavljene cilje. Kot sem ţe pokazal v uvodu si splošne uporabe svoje kode ne obetam, sem pa sam ob delu pridobil ogromno znanja. Tudi sicer se mi zdi moja implementacija letom in predhodnemu znanju primerna, pa tudi sicer zadovoljiva. 4.2 Možnosti izboljšav Izboljšava naloge Največ bi se dalo izboljšati mojo analizo časovne zahtevnosti in posledično uporabnosti zlasti druge implementacije. Slišal sem sicer ţe, da je v Pythonu mogoče z uporabo nekaterih dodatnih modulov zelo dobro analizirati časovno zahtevnost algoritmov. Tako bi bila moja opazovanja še bolj trdno podkrepljena z empiričnimi dokazi Izboljšava programa Binarno iskalno drevo je kljub nekaj odličnim lastnostim še vedno v nekaterih mejnih primerih dokaj neučinkovito. Tak primer je, da v binarno iskalno drevo eno za drugim dodajamo vedno večja števila. V tem primeru dobimo povsem nerazvejano drevo in vse lepe logaritemske lastnosti se podrejo. Da se to ne bi pripetilo, so bile ţe razvite mnoge nadgradnje binarnih iskalnih dreves. Svojo kodo bi tako lahko preoblikoval in dopolnil tako, da bi se drevo ob spremembi samo uravnoteţilo. To bi potem resnično zagotovilo logaritemsko časovno zahtevne operacije. Stran 24

25 4.3 Ocena dela Med delom semsledil zastavljeni metodologiji. Najprej sem se teoretično poglobil v področje, nato sem se lotil praktičnega dela. Seveda pa sem pri izdelavi prakttičnega dela naletel na nekatere ovire in sem se moral zato vedno znova vračati k teoriji. Različni deli naloge so mi vzeli različno veliko časa. Ocenjene vrednosti sem za boljši pregled zato predstavil s spodnjim grafom: Število porabljenih ur za posamezno aktivnost programiranje branje strokovne literature izdelava spletne predstavitve in druge dokumentacije testiranje programov 40 Graf 1: Število porabljenih ur za posamezno aktivnost Z zadostnim znanjem bi mojo nalogo lahko opravili mnogo hitreje. Pri svojem delu torej nisem bil najbolj učinkovit. Toda prav s poglabljanjem znanja sem dosegel poglavitni cilj svoje naloge, zato ocenjujem svoje delo kot uspešno. Stran 25

26 Stvarno kazalo algoritem, 5 definicija binarnega drevesa, 13 mnoţica, 7 obhodi (traversals), 14 podatkovne strukture, 5 primerek (instance), 13 rekurzija, 10 seznam, 7 teorija grafov, 10 učinkovitost programa, 7 Viri in literatura Tree traversal (online). [uporabljeno ] Dostopno na Lambert, A. Kenneth.: Fundamentals of Python, From First Programs through Data Structures, Boston, Course Technology, 2009 Algorithms and Data Structures with implementations in Java and C++: Binary search tree. Removing a node [uporabljeno ] Dostopno na Introduction to Algorithms. 3 rd edition. Cambridge, The MIT Press, 2009 Islovar [uporabljeno ] Dostopno na Miller, Brad N.; Ranum, David L.: problem solving with algorithms and data structures using python. (online) [uporabljeno ] Dostopno na Stran 26