Napísal som viac-menej univerzálnu procedúru scan-line (dá sa ľahko upraviť, aby kreslila ľubovoľné

Transcription

1 Ján Jerguš (2Ib) UGR 2008 séria C Úloha 1 Zostavte procedúru, ktorá pre zadané celočíselné súradnice štyroch bodov [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ], [x 3, y 3 ], [x 4, y 4 ] vyplní štvoruholník nimi zadaný metódou riadkového rozkladu (scan-line). Pre výpočet priesečníkov použite prírastkový algoritmus. Môžete využiť procedúru Riadok(y, xa, xb), ktorá vykreslí úsečku [x a, y][x b, y]. Napísal som viac-menej univerzálnu procedúru scan-line (dá sa ľahko upraviť, aby kreslila ľubovoľné mnohouholníky), ktorá pre každý riadok vypočíta priesečníky so všetkými úsečkami, ktoré tento riadok pretínajú, tieto priesečníky utriedi a nakoniec každý druhý úsek medzi priesečníkmi vykreslí. Podrobnejší popis je v komentároch v kóde. procedure scanline(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4 : integer); var vrchx, vrchy, spodx, spody { súradnice vrchných a spodných bodov úsečiek } : array [1..4] of integer; k, q, { parametre úsečiek } x { x-ová súradnica každej úsečky v aktuálne vykresľovanom riadku } : array [1..4] of double; y, { číslo aktuálne vykresľovaného riadku } i, j, miny, maxy { najmenšia a najväčšia hodnota y (rozsah vykresľovaných riadkov) } : integer; riadx : array [1..4] of integer; { priesečníky v aktuálnom riadku } pocetriadx : integer; { počet priesečníkov v aktuálnom riadku } begin { priradíme začiatočné a koncové body úsečiek } vrchx[1] := x1; vrchy[1] := y1; spodx[1] := x2; spody[1] := y2; vrchx[2] := x2; vrchy[2] := y2; spodx[2] := x3; spody[2] := y3; vrchx[3] := x3; vrchy[3] := y3; spodx[3] := x4; spody[3] := y4; vrchx[4] := x4; vrchy[4] := y4; spodx[4] := x1; spody[4] := y1; miny := vrchy[1]; { neskôr nahradíme skutočnou hodnotou } maxy := vrchy[1]; { predspracujeme úsečky } for i := 1 to 4 do begin { správne utriedime vrchný a spodný koniec } if vrchy[i] > spody[i] then begin swap(vrchx[i], spodx[i]); swap(vrchy[i], spody[i]); { vypočítame parametre a prvú hodnotu x } k[i] := (vrchx[i]-spodx[i])/(vrchy[i]-spody[i]); q[i] := vrchx[i] - k[i]*vrchy[i]; x[i] := vrchx[i]; { aktualizujeme hodnoty miny a maxy } if vrchy[i] < miny then 1

2 miny := vrchy[i]; if spody[i] > maxy then maxy := spody[i]; for y := miny to maxy do begin { všetky vykresľované riadky } pocetriadx := 0; for i := 1 to 4 do { všetky úsečky } { ak táto úsečka pretína aktuálny riadok } if (y >= vrchy[i]) and (y <= spody[i]) then begin inc(pocetriadx); { pridáme aktuálny x medzi priesečníky riadku } riadx[pocetriadx] := round(x[i]); x[i] := x[i] + k[i]; { aktualizujeme x } { utriedime riadx } for i := pocetriadx-1 downto 1 do for j := 1 to i do if riadx[j] > riadx[j+1] then swap(riadx[j], riadx[j+1]); riadok(y, riadx[1], riadx[2]); { prvý úsek (1.-2. priesečník) } if pocetriadx = 4 then riadok(y, riadx[3], riadx[4]); { druhý úsek (3.-4. priesečník) } Úloha 2 Zapíšte procedúru na vyplnenie trojuholníka [x 1, y 1 ][x 2, y 2 ][x 3, y 3 ] pomocou Pinedovho algoritmu v niektorom programovacom jazyku. Riešenie okomentujte a navrhnite zmeny, ktoré by viedli v prípade trojuholníka k jeho zefektívneniu. Podľa poradia, v ktorom boli dané vrcholy, sú vnútorné body trojuholníka buď naľavo alebo napravo od všetkých strán. Tieto dva prípady rozlíšime tak, že na začiatku overíme, či je bod 3 naľavo alebo napravo od strany tvorenej bodmi 1 a 2 a podľa toho postavíme podmienku, ktorú budeme potom overovať pre všetky body obrazovky. Hodnoty E inicializujeme pre bod na súradniciach [0, 0] a potom ich aktualizujeme vždy pre posun o [1, 0] vrámci riadku a pre posun o [ 320, 1] keď prechádzame na nový riadok. procedure pined(x1, y1, x2, y2, x3, y3 : integer); var e, dx, dy : array [1..3] of integer; x, y : integer; orient : integer; begin dx[1] := x2 - x1; dy[1] := y2 - y1; dx[2] := x3 - x2; dy[2] := y3 - y2; 2

3 dx[3] := x1 - x3; dy[3] := y1 - y3; { podľa polohy bodu 3 vzhľadom na úsečku 1,2 určíme orientáciu } if (x3-x1)*dy[1] - (y3-y1)*dx[1] < 0 then orient := 1 else orient := -1; { predpočítame hodnoty e pre bod [0, 0] } e[1] := -x1*dy[1] + y1*dx[1]; e[2] := -x2*dy[2] + y2*dx[2]; e[3] := -x3*dy[3] + y3*dx[3]; for y := 0 to 199 do begin { všetky riadky obrazovky } for x := 0 to 319 do begin { všetky stĺpce obrazovky } if (orient*e[1] < 0) and (orient*e[2] < 0) and (orient*e[3] < 0) then pixel(x, y, 2); e[1] := e[1] + dy[1]; { upravíme hodnoty e pre x = x+1 } e[2] := e[2] + dy[2]; e[3] := e[3] + dy[3]; e[1] := e[1] - 320*dy[1] - dx[1]; { upravíme hodnoty e pre x = x-320 } e[2] := e[2] - 320*dy[2] - dx[2]; { a y = y+1 } e[3] := e[3] - 320*dy[3] - dx[3]; Možné optimalizácie: Nemusíme overovať podmienku pre všetky body obrazovky. Stačí prejsť riadky od najvrchnejšieho použitého (najmenšej súradnice y, ktorá sa nachádza na vstupe) po najspodnejší, v každom riadku stačí začať najmenšou súradnicou x, ktorá sa nachádza na vstupe a skončiť najväčšou. Aby sme sa zbavili násobenia pri prechode na nový riadok, môžeme riadky vykresľovať po dvojiciach, vždy prvý zľava doprava a druhý sprava doľava, prípadne si môžeme hodnoty 320*dy predrátať. Úloha 3 Na vstupe je postupnosť súradníc bodov [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ],... [x n, y n ], ktoré tvoria vrcholy n-uholníka (s nepretínajúcimi sa hraničnými úsečkami). Zapíšte čo najefektívnejšiu metódu, ktorou možno zistiť, či tento n-uholník je konvexný (teda spojnica každých dvoch vnútorných bodov leží celá v jeho vnútri ;-)). Predstavme si chodca, ktorý kráča po obvode mnohouholníka. Vždy, keď prechádza z nejakej strany mnohouholníka na ďalšiu, musí sa pootočiť doľava alebo doprava. Ak sa otočí vždy rovnakým smerom, potom mnohouholník je konvexný. Môj algoritmus teda bude pracovať tak, že pre každú stranu mnohouholníka spočíta, či nasledujúci bod je naľavo alebo napravo od nej (pomocou rovnakého vzorca ako v predošlej úlohe) a ak bude výsledok pre všetky rovnaký, vyhlási mnohouholník za konvexný. 3

4 nalavo := 0; { počet bodov naľavo od ich predchádzajúcej strany } for i := 0 to n-1 do begin { body sú indexované od 0 po n-1 } zac := i; { index začiatočného bodu strany } kon := (i+1) mod n; { index koncového bodu strany } nasl := (i+2) mod n; { index nasledujúceho bodu } if (x[nasl]-x[zac])*(y[kon]-y[zac]) - (y[nasl]-y[zac])*(x[kon]-x[zac]) < 0 then inc(nalavo); if (nalavo = 0) or (nalavo = n) writeln( konvexny ) else writeln( nekonvexny ); Úloha 4 Sformulujte čo najpresnejší dôkaz, že v prípade inverzného vypĺňania budú zafarbené len body vnútra (všeobecne nekonvexného) n-uholníka. Zjavne: Bod bude po skončení algoritmu vysvietený, ak bol invertovaný nepárny počet ráz (na začiatku je zhasnutý, každé invertovanie zmení jeho stav). Bod bude počas behu invertovaný toľkokrát, od koľkých strán leží napravo (vyplýva z definície algoritmu). Chceme teda dokázať, že vovnútri mnohouholníka ležia práve tie body, ktoré ležia napravo od nepárneho počtu strán. Uvažujme teraz vodorovnú priamku pretínajúcu mnohouholník. Ak postupne prechádzame po tejto priame zľava doprava, 1. Začíname mimo mnohouholníka, zatiaľ sme nepretli žiadnu jeho stranu. Prechádzané body sú teda napravo od 0 (párny počet) strán mnohouholníka a nebudú vysvietené. 2. Pretnutím strany sa dostaneme dovnútra mnohouholníka. Ďalšie body sú napravo od 1 (nepárny počet) strán mnohouholníka a budú vysvietené. 3. Pretnutím ďalšej strany sa dostaneme von z mnohouholníka. Ďalšie body budú napravo od 2 strán mnohouholníka a nebudú vysvietené. 4. Predošlé dva body sa môžu ľubovoľne veľa ráz opakovať, nikdy sa však nemôže stať, že pretneme už len jednu stranu ak do mnohouholníka vojdeme, musíme aj vyjsť. Na konci, keď pretneme poslednú stranu, teda bude vždy preťatý párny počet strán mnohouholníka. 4

5 Úloha 5 Oblasť vypĺňame riadkovým semienkovým vypĺňaním. V jednom kroku sme pre aktuálne semienko vyplnili úsek [3, 4][7, 4]. V jeho okolí sú farbou nevyplneného vnútra oblasti zafarbené len body [2, 5], [3, 5], [4, 3], [5, 3], [5, 5], [6, 5], [7, 5], [8, 3]. Zdôvodnite, ktoré z nich tento algoritmus vloží do zásobníka, ak chceme oblasť vyplniť a) 4-smerovo súvisle b) 8-smerovo súvisle Načrtneme si situáciu (riadky 3 5, stĺpce 1 9, o vyplnené body,. body farby nevyplneného vnútra, X body inej farby (hranica)): XXX..XX.X X..X...XX Pri štvorsmerovom vypĺňaní ukladáme semienka do stĺpcov 3 7, pri osemsmerovom do stĺpcov 2 8 v priľahlých riadkoch. Semienko uložíme vždy 1. na prvý kontrolovaný bod v riadku, ak tento je farby nevyplneného vnútra 2. na každý bod farby nevyplneného vnútra, ktorý má bod inej (hraničnej) farby tesne naľavo od seba Pri štvorsmerovom vypĺňaní teda umiestnime semienko (*) do bodu [3, 5], ktorý je prvým overovaným bodom v piatom riadku a do bodov [4, 3], [5, 5], ktoré sú tesne napravo od bodov inej farby: XXX*.XX.X X.*X*..XX Pri osemsmerovom vypĺňaní umiestnime semienko do bodu [2, 5], ktorý je prvým overovaným bodom v piatom riadku a do bodov [4, 3], [8, 3], [5, 5], ktoré sú tesne napravo od bodov inej farby: XXX*.XX*X X*.X*..XX 5