Probleme la metoda Divide et Impera

Transcription

1 Probleme la metoda Divide et Impera 1. a) Calculaţi suma numerelor de la 1 la n, cu metoda D&I. b) Calculaţi produsul numerelor de la 1 la n, cu metoda D&I. c) Calculaţi suma numerelor dintre a şi b, cu metoda D&I. d) Calculaţi produsul numerelor dintre a şi b, cu metoda D&I.. a) Calculaţi suma numerelor pare de la 1 la n, cu metoda D&I. b) Calculaţi produsul numerelor pare de la 1 la n, cu metoda D&I. c) Calculaţi suma numerelor pare dintre a şi b, cu metoda D&I. d) Calculaţi produsul numerelor pare dintre a şi b, cu metoda D&I. 3. a) Calculaţi suma numerelor impare de la 1 la n, cu metoda D&I. b) Calculaţi produsul numerelor impare de la 1 la n, cu metoda D&I. c) Calculaţi suma numerelor impare dintre a şi b, cu metoda D&I. d) Calculaţi produsul numerelor impare dintre a şi b, cu metoda D&I. 4. Scrieţi o funcţie care să determine radicalul de ordinul al unui număr real a cu 4 zecimale exacte, cu metoda D&I. 5. Determinaţi o soluţie a ecuaţiei x 3-3x+1=0, din intervalul [0,1] cu o precizie de 3 zecimale. Probleme D&I cu vectori 1. Se citesc elementele unui vector x, cu cel mult 0 de elemente numere întregi. V1) Calculaţi suma elementelor din vector, cu metoda D&I. V) Calculaţi produsul elementelor din vector, cu metoda D&I. V3) Calculaţi suma elementelor impare cu indici pari din vector, cu metoda D&I. V4) Determinaţi valoarea minimă din vector, cu metoda D&I. V5) Determinaţi valoarea maximă din vector, cu metoda D&I. V6) Determinaţi minimul dintre elementele pare din vector, cu metoda D&I. V7) Determinaţi numărul elementelor pare cu indici impari din vector, cu metoda D&I. V8) Determinaţi numărul elementelor prime din vector, cu metoda D&I. V9) Determinaţi cmmdc al elementelor din vector, cu metoda D&I. V) Determinaţi produsul elementelor impare cu indici pari din vector, cu metoda D&I.

2 Turnurile din Hanoi 1. #include<iostream>. using namespace std; 3. void H(int n,char a,char b,char c) 4. //mutam discurile de pe tija a pe b, 5. //folosind intermediar tija c 6. { 7. if(n==1)cout<<a<<"=>"<<b<<'\n'; 8. else 9. {H(n-1,a,c,b);. cout<<a<<"=>"<<b<<'\n'; 11. H(n-1,c,b,a); 1. } 13. } 14. int main() 15. { 16. int n; 17. cout<<"n=";cin>>n; 18. H(n,'A','B','C'); 19. return 0; 0. } Calculul radicalului de ordinul (rădăcina pătrată) 1. //Calculati radicalul de ordinul. //dintr-un numar natural n 3. #include<iostream> 4. #include<cmath> 5. using namespace std; 6. float rad(int n,float a, float b) 7. { 8. float m=(a+b)/; 9. if(fabs(a-b)<=0.0001)return m;. else 11. if(m*m<n)return rad(n,m,b); 1. else return rad(n,a,m); 13. } 14. int main() 15. { 16. int n; 17. cout<<"n="; cin>>n; 18. cout<<rad(n,1,n)<<'\n'; 19. cout<<sqrt(n); 0. return 0; 1. } Căutarea binară Notăm cu a vectorul sortat crescător şi cu x valoarea de căutat, iar cu s indicele de început şi cu d indicele ultimului element din secvenţa de elemente în care căutăm valoarea x, adică a[s],,a[d]. La fiecare repetare renunţăm la jumătate din elementele rămase din vector. Algoritmul căutării binare se aplică astfel: P1. Iniţial, limitele sunt s=1 şi d =n (toate elementele din vector) P. La fiecare repetare, determinăm indicele elementului median, m=(s+d)/. Comparăm elementul din mijloc cu valoarea m, adică a[m] <= x a) Condiţia este Adevărată: continuăm cu jumătatea din dreapta a vectorului, s=m b) Condiţia este Adevărată: continuăm cu jumătatea din dreapta a vectorului, d=m-1

3 Exemplu: Pentru n=1 şi vectorul 3,,7,31,4,58,63,75,81,94,1, int n,a[1],x;. int caut(int x, int s,int d) 3. { int m=(s+d)/; 4. if (s<d) 5. if (x==a[m])return m; 6. else 7. if (x>a[m]) return caut(x,m+1,d); 8. else return caut(x,s,m-1); 9. else return -1;. } 1. //Se dă un vector v sortat crescător şi un număr natural x.. //Căutaţi valoarea x în vector cu algoritmul căutării binare. 3. //Funcţia de căutare va returna adresa unui element din vector 4. //egal cu x, sau -1 dacă x valoarea nu există în vector. 5. #include<fstream> 6. using namespace std; 7. int n,a[1],x; 8. ifstream fin("cautare.in"); 9. ofstream fout("cautare.out");. void citire() 11. { 1. int i; 13. fin>>n; 14. for(i=1;i<=n;i++) 15. fin>>a[i]; 16. fin>>x; 17. } 18. int caut(int x, int s,int d) 19. { int m=(s+d)/; 0. if (s<=d) 1. if (x==a[m])return m;. else 3. if (x>a[m]) return caut(x,m+1,d); 4. else return caut(x,s,m-1); 5. else return -1; 6. } 7. int main() 8. { 9. citire(); 30. fout<<caut(x,1,n); 31. fin.close(); 3. fout.close(); 33. return 0; 34. }

4 Algoritmul de sortare rapidă (QuickSort) 1. #include<fstream>. using namespace std; 3. int n,v[01]; 4. ifstream fin("vector.in"); 5. ofstream fout("vector.out"); 6. void citire() 7. { 8. int i; 9. fin>>n;. for(i=1;i<=n;i++) 11. fin>>v[i]; 1. } 13. void tipar() 14. { 15. int i; 16. for(i=1;i<=n;i++) 17. fout<<v[i]<<' '; 18. } 19. int Divide(int ls,int ld) 0. //mutăm elementul x=v[s] pe poziţia lui 1. //din şirul sortat crescător:. //- în stânga lui x toate elementele vor fi mai mici 3. //- în dreapta lui x toate elementele vor fi mai mari 4. //Funcţia returnează indicele lui x în şirul sortat crescător 5. { 6. int x,s,d,aux; 7. s=ls;//indicele limită din stanga 8. d=ld;//indicele limită din dreapta 9. x=v[s];//elementul pivot 30. while(s<d) 31. { 3. while(s<d&&v[s]<x)s++;//ne oprim când s>=d sau v[s]>=x 33. while(s<d&&v[d]>x)d--;//ne oprim când s>=d sau v[d]<=x 34. if(s<d){aux=v[s];v[s]=v[d];v[d]=aux;} 35. } 36. v[s]=x; 37. return s; 38. } 39. void QSort(int ls,int ld) 40. { int m; 41. if(ls<ld) 4. { 43. m=divide(ls,ld);//determinăm indicele elementului pivot 44. QSort(ls,m); //sortăm prima parte a vectorului 45. QSort(m+1,ld); //sortăm a doua parte 46. } 47. } 48. int main() 49. { 50. citire(); 51. QSort(1,n); 5. tipar(); 53. fin.close(); 54. fout.close(); 55. }

5 Metoda bisecţiei Metoda bisecţiei, numită uneori şi metoda dihotomiei sau a înjumătăţirii intervalelor, este cea mai simplă dintre metodele de rezolvare a ecuaţiilor algebrice şi transcendente. Se consideră că, printr-un procedeu oarecare, s-a reuşit localizarea rădăcinii exacte x 0 a ecuaţiei f(x)=0 în intervalul [a, b]. În ipoteza în care funcţia f(x) este continuă, iar radacina x 0 este singurul zerou al lui f(x) în [a, b], la extremităţile intervalului funcţia ia valori de semne contrare: f(a) * f(b)<0. Determinarea aproximaţiei x 1 a rădăcinii exacte x 0 cu o precizie cu metoda bisecţiei foloseşte următoarea schemă (vezi şi figura de mai sus): intervalul [a, b] se înjumătăţeşte prin punctul m=(a+b)/ şi se calculează produsul f(m) * f(b). Dacă f(m) * f(b) este pozitiv, rădăcina x 0 se găseşte între a şi m. În acest caz, se reţine valoarea lui m ca extremitatea dreapta a intervalului (b m) şi se reia procedeul. Dacă f(m) * f(b) este negativ, rădăcina x 0 se gaseste intre m si b. De această dată, se modifică extremitatea stânga a intervalului (a m) şi se reia procedeul. Aceasta schemă se aplică în mod repetat până când lungimea intervalului [a, b] - modificat de la o iteraţie la alta - scade sub valoarea limită *, adică b - a < *. Dacă, în acest moment, se consideră ca radacină aproximativă x 1 =(a+b)/, acesta nu se îndepartează de soluţia exactă x 0 cu mai mult de. Desigur, întrun caz banal, este posibil ca, în cursul înjumătăţirii intervalelor succesive [a, b], punctul m să coincidă cu rădăcina exacta x 0. Această situaţie se recunoaşte prin anularea produsului f(m) * f(b), caz în care schema de calcul se întrerupe, dispunând în acest caz chiar de rădăcina exactă x 1 =m=x 0. Algoritmul 1 - Ecuatii neliniare - Metoda bisectiei 1. Definirea functiei f(x), a intervalului de lucru [a, b], a preciziei şi a numărului maxim de iteratii Nmax.. Procesul iterativ: i. Iniţializarea procesului iterativ: it 0; ii. Dacă s-a atins precizia dorită (b - a < * ) sau numărul maxim de iteraţii Nmax se incheie bucla iterativa si se trece la pasul 3. iii. Se trece la o nouă iteraţie: it it+1; iv. Înjumătăţirea intervalului curent: m (a+b)/ ; v. Stabilirea noului interval de lucru: a. Dacă f(m) * f(b)<0, rădăcina se gaseşte în [m, b]; se actualizează limita stânga: a m şi se trece la pasul.vi; b. Dacă f(m) * f(b)>0, rădacina se gaseşte în [a, m]; se actualizează limita dreapta: b m şi se trece la pasul.vi; c. Dacă f(m) * f(b)=0, rădăcina este m; se actualizează ambele limite: a m, b m şi se trece la pasul.vi; vi. Se revine la pasul.ii; 3. Calculul rădăcinii aproximative: x (a+b)/.

6 1. // Scrieti un program care sa rezolve. // cu metoda "Divide et Impera" ecuatia: 3. // x^3-3*x+1=0 4. //Cautam solutiile in intervalele: 5. //[-,-1],[0,1],[1,] 6. #include<iostream> 7. #include<cmath> 8. using namespace std; 9. double f(double x). { 11. return x*x*x-3*x+1; 1. } 13. double Sol(double a,double b) 14. { 15. double m=(a+b)/; 16. if(fabs(b-a)<=0.0001) return m; 17. if(f(a)*f(m)<0) return Sol(a,m); 18. if(f(m)*f(b)<0) return Sol(m,b); 19. } 0. int main() 1. {. cout<<"solutiile ecuatiei: x^3-3*x+1=0"<<endl; 3. cout<<"x1= "<<Sol(-,-1)<<endl; 4. cout<<"x= "<<Sol(0,1)<<endl; 5. cout<<"x3= "<<Sol(1,)<<endl; 6. return 0; 7. } Exponenţiere rapidă 1. #include<iostream>. using namespace std; 3. long p(long x, long n) 4. { 5. if(n==0) return 1; 6. long aux=p(x,n/); 7. if(n%==0) return aux*aux; 8. if(n%==1) return x*aux*aux; 9. }. int main() 11. { 1. int a,n; 13. cout<<"a="; cin>>a; 14. cout<<"n="; cin>>n; 15. cout<<p(a,n); 16. return 0; 17. }