Private and Public Circulating Liabilities. Costas Azariadis, James Bullard and Bruce Smith

Transcription

1 WORKING PAPER SERIES Private and Public Circulating Liabilities Costas Azariadis, James Bullard and Bruce Smit Working Paper A ttp://researc.stlouisfed.org/wp/2000/ pdf PUBLISHED: Journal of Economic Teory, July/August 2001, 99, pp , FEDERAL RESERVE BANK OF ST. LOUIS Researc Division 11 Locust Street St. Louis, MO Te views expressed are tose of te individual autors and do not necessarily reflect official positions of te Federal Reserve Bank of St. Louis, te Federal Reserve System, or te Board of Governors. Federal Reserve Bank of St. Louis Working Papers are preliminary materials circulated to stimulate discussion and critical comment. References in publications to Federal Reserve Bank of St. Louis Working Papers (oter tan an acknowledgment tat te writer as ad access to unpublised material) sould be cleared wit te autor or autors. Poto courtesy of Te Gateway Arc, St. Louis, MO.

2 Sulydw dqg Sxeolf Flufxodwlqj Oldelolwlv Frvwdv D}duldglv Mdpv Exoodug Æ $jvbi 6jA Nu WNAN6Wt -jtjbiw $jvbi 6jA Pw 8-7 wnt Euxf Vplwk $jvbi 6jA Nu WNAN6Wt PAjit + Nu Cj!Bt Wklv yuvlrq= Pd 8/ 5333 Ot ibw?}it? i *i}*?_ iu?l*l}u* i?l?i?? i N5 i Ui i_ i TLttM* ) Lu T i M?!?L i ttic L t i*iu L?U i^*i? `i t L?_it?_ i T*U L?t Lu t TLttM* ) ul iul?lu TiuL?Ui UUL_?}*)c i UL?t U?_?*)3i _)?U }i?i* i^*m L_i*? U T i*)tti_ *M* it ) UU* ic i i M) iti*itc L *L?}t_i t LU! Lu L t_i L?i) W? iu Uti i TL_i it* t L? i i t i?ui?_ * T*U ) Lu i^*mc?_ i UU i3i *LU* _)?Ut??i}MLLL_ Lu t i_) t i it* t tttl 6i_?<t E bsf _i UU*?} T i *M* it i ttlu i_ i?_l}i?lt EL Ri Uitt L* * ) T*ii??} 6i_?<t E bsf _UiQ i }Li?i? tl*_ M? T i tt?ui Lu U*Lti U i?u) tmt itqutit t}? U??iUi?U)? L L_i*?_ T*ii??} i TL* LTTLt i _Ui Lu O)i! E b S?_ 6 E bhfq i }Li?i? tl*_ _ ul Ui?U) tt?ui * L}i i? i Titi?Ui Lu UU*?} T i *M* itq*tl t Lu i? UL?t?i_tMLT *? L iul?lit W?t i_c L iul?lit i ML TM*U?_ T i UU*?} *M* it t T Lu? LT * L?i )?}ii? a,w U*tt U L??MitG,c,ec,D W Æ?) it i Titti_ i ÄLti Lu Äi à ÄLt? L?L?iUitt*) iiu Äi it Lu Äi 6i_i* +itii?! Lu 5 wlãt L Äi 6i_i* +itii 5)t i AÄt TTi t *M*i L? Äi L* i im t *tuml}%itiuä%iul?%mã**_% _`i Ä?! ai) L? ul tii* Äi*TuÃ* UL?it L?tc?_ Äi T UT? t Lu Titi? L?t Äi N?it ) Lu WLc Äi 6i_i* +itii?! Lu *ii*?_c Äi ii?}t Lu Äi 5LUi ) ul Äi Æ_?Uii? Lu,UL?LU AÄiL)c?_ Äi _it UL ii?}t ul Äi iu L?t L i*i itl?t Lu Ät TTi

3 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt YA inaw NA 11 Ryuylz1 Wzr ri wk prvw edvlf txvwlrqv lq prqwdu frqrplfv du= +, Gr z _qg%wk jryuqpqw wr surylg prq / ru fdq z uo rq _wk pdunw% wr surgxf d zoo0ixqfwlrqlqj prqwdu duudqjpqwb +5, Grv dq flqw prqwdu v vwp utxlu d pl{ ri sulydw dqg jryuqpqw prq / ru vkrxog wk jryuqpqw e d prqrsro surylgu ri fxuuqf dqg forv fxuuqf vxevwl0 wxwvb Lpsolflw lq wk zruglqj ri wkv txvwlrqv du vrp yu gluqw ylzv derxw wk sulydw surylvlrq ri fxuuqf 1 Foduo pdq frqrplvwv eoly wkdw pdunw pfkdqlvpv zrun zoo/ {fsw zku wk fudwlrq ri prq lv frqfuqg1 Exw vrpsukdsv prvw surplqqwo Kd n +<:9, dqg Idpd +<;3,kdy dujxg wkdw/ yq zlwk uvsfw wr prq / sulydw pdunw surylvlrq fdq surgxf gvludeo rxwfrpv1 Rq wk rwku kdqg/ pdq frqrplvwv kdy dujxg wkdw qrw rqo vkrxog wk jryuqpqw sulqw prq / exw wkdw wk jryuqpqw vkrxog kdy d prqrsro rq fxuuqf fudwlrq1 Iulgpdq +<93,/ iru {dpso/ dujxg sdvvlrqdwo wkdw doorzlqj sulydw surylvlrq ri forv fxuuqf vxevwlwxwv lv d ufls iru jqudwlqj lqgwuplqdf ri txloleulxp dqg _{fvvly%yrodwlolw 1 Wkuiru/ wk jryuqpqw vkrxog e wk vro lvvxu ri flufxodwlqj oldelolwlv/ dqg wk fudwlrq ri fxuuqf vxevwlwxwv vkrxog e fduixoo vjujdwg iurp doo sulydw fuglw pdunw dfwlylw 1 Vrpzku ewzq wkv ylzv olv wk udo eloov grfwulq1 Wklv wkru grv qrw fodlp wkdw wk jryuqpqw vkrxog qfvvdulo ody doo fxuuqf fudwlrq wr wk pdunw1 Exw lw grv dvvuw wkdw wk {lvwqf ri vdi/ sulydwo 0lvvxg flufxodwlqj oldelolwlv srvv qr _wkudw%wr frqrplf zoo0elqj/ dqg pd dfwxdoo e eqfldo1 Wkv wku srlqwv ri ylz irup wk fru ri prvw uflyg prqwdu wkru 1 Gvslw fqwxulv ri gedw dprqj wklu dgkuqwv/ krzyu/ d uvroxwlrq ri wk gluqfv dprqj wkp kdv qyu eq dfklyg1 Lq dgglwlrq/ wk prqwdu wkru olwudwxu vpv vkruw ri irupdo iudpzrunv iru ixoo ydoxdwlqj doo ri wkv lvvxv1 Ufqw gyorspqwv pdn lw sduwlfxoduo lpsruwdqw wr ufwli wklv vlwxdwlrq1 Rq lv 5ii? t E bed ul tã) Lu Äi Ät LU* _im it L? Äiti LTUt 5 Ä E bbe _itumit tli Li L_i? i UÄ?}it

4 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 5 wkdw doo ojdo lpsglpqwv wr wk fudwlrq ri sulydw edqnqrwvru wklu txlydoqwv kdy eq upryg lq wk X1V1 Dqrwku lv wkdw lpsurypqwv lq frppxqlfdwlrq dqg wudqvdfwlrqv wfkqrorjlv kdy pdg lw idvleo wr lvvx ofwurqlf txlydoqwv ri sulydw edqnqrwv1 Krz zloo wkv gyorspqwv dfw wk gwuplqdwlrq ri wk sulf oyo dqg udwv ri uwxuqb Zloo wk odg wr lqfudvg frqrplf yrodwlolw ru jqudw lqgwuplqd0 flvb Lw vpv lpsruwdqw wr kdy dq dssdudwxv iru ydoxdwlqj wkv lvvxv1 Ilqdoo / lw lv qrz frpprq wr kdu dujxpqwv wkdw _0fdvk/%wk ofwurqlf txlydoqw ri sulydw flufxodwlqj oldelolwlv/ zloo xowlpdwo glvsodf rxwvlg prq 1 5 Wk ylzv ri Kd n +<:9, dqg klv iroorzuv vxjjvw wkdw wklv zrxog e d srvlwly gyorspqw1 Z sursrv wr surylg d iudpzrun iru ydoxdwlqj doo ri wkv dvvuwlrqv Prgo idwxuv1 Zkdw idwxuv vkrxog vxfk d iudpzrun kdyb Iluvw/ lq nslqj zlwk glvfxvvlrqv gdwlqj edfn wr Vplwk +::9,/ prqwdu {fkdqj lv prvw lqwuvwlqj lq qylurqpqwv zku wudg lv lpsuifwo frruglqdwg1 Wkxv/ z vkrxog doorz wudg wr wdn sodf lq d qxpeu ri glvwlqfw pdunwv/ dqg dovr iru wk srvvlelolw wkdwdw dq prpqw lq wlpwku pd e rqo olplwg vfrs iru lqwudfwlrq dprqj ydulrxv pdunwv1 Vfrqg/ sulydw oldelolw lvvx lv w slfdoo dvvrfldwg zlwk fuglw wudqvdfwlrqv1 Wku vkrxog wkuiru e vrp vfrs iru djqwv wr eruurz dqg oqg1 Ilqdoo / iru djqwv* oldelolwlv wr flufxodw/ wk ruljlqdo uflslqwv ri wkv oldelolwlv pxvw zdqw wr frqvxp dw wlpv zkq wk du xqdeo wr ugp wkp iurp wk ruljlqdo lvvxuv1 Wklv fdq dvlo e fdswxug e kdylqj djqwv wudg zlwk dw odvw vrp rwku djqwv zkrp wk zloo qrw pw djdlq1 Lq nslqj zlwk wkv utxlupqwv/ z frqvwuxfw d sxu {fkdqj frqrp zlwk wku0 sulrg olyg/ ryuodsslqj jqudwlrqv1 Iroorzlqj Wrzqvqg +<;3/ <;:,/ z dvvxp wku du pxowlso orfdwlrqv zku wudg rffxuv1 Vsdwldo vsdudwlrq dqg olplwg frppxqlfdwlrq ewzq wkv orfdwlrqv fudwv wk gfqwudol}g vwwlqj wkdw pdnv prqwdu {fkdqj prvw lqwuvwlqj1 Z dovr sxw d yu vsflf vwuxfwxu rq wk sdwwuq ri djqwv* pwlqjv1 2 5ii 5UÄiu E bb. ul _tuãttl? Lu UÃi??_ Ät LU* Ä?!?} L? Ät TL? AÄii t tãmt? * * i Ãi L? T i L?i) Ui L?, T*it?U*Ã_i AL?ti?_?_ `**Ui E bh.c `**tl? E bb2c bbbc ÄTc 5 Äc?_ `**tl? E bbsc *U??_ `**Ui E bbbc Ã_i c AiLt?_ `}Ä E2fffc?_ 5 Ä?_ `imi E bbb à ui Lu Äiti TTit?*)3i Äi Äi }Li?i??_ T i ttãit RtÄLÃ*_ ULi t c L Äi Äi Äi Titi?Ui Lu T i ttãit *i_t L Ã* T*U ) Lu i^ã*m L L i?_l}i?lãt L* * ) Æ L_i* i* i_ L LÃt??? i? L?* UL? i t 6tÄi E bbs

5 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 6 Dw dfk gdw/ vrp rxqj oqguv du wrjwku zlwk vrp rxqj eruurzuv lq dfk pdunw1 Wku lv dq lqfqwly wr wudqviu uvrxufv iurp oqguv wr eruurzuv1 Krzyu/ rxu dvvxpswlrqv rq djqwv* sdwwuqv ri prypqw lpso wkdw/ li d rxqj oqgu dqg d rxqj eruurzu du wrjwku wrgd / wk zloo qyu pw djdlq1 Qyuwkovv/ rxqj oqguv zloolq wk ixwxupw rwku djqwv zkr zlooyq ixuwku lq wk ixwxupw wk eruurzuv zlwk zkrp wk du fxuuqwo sdlug1 7 Wkxv/ dv lq Wrzqvqg dqg Zdoodf +<;5/ <;:,/ rxqj oqguv fdq ex wk oldelolwlv ri eruurzuv lq {fkdqj iru jrrgv/ dqg voo wkv oldelolwlv wr rwkuv lq wk ixwxu1 Lw lv lq wklv vqv wkdw sulydw oldelolwlv flufxodw1 Exw lq frqwudvw wr Wrzqvqg dqg Zdoodf +<;5/ <;:,/ sulydw oldelolwlv pd fr{lvw zlwk d vwrfn ri rxwvlg prq 1 Dqg/ xqoln Wrzqvqg dqg Zdoodf/ z vwxg dq lqqlw krul}rq frqrp dqg sd sduwlfxodu dwwqwlrq wr g qdplf txloleuld1 Wk vsflf txvwlrqv z lqyvwljdw du= Krz du sulydw oldelolwlv sulfg e wk pdunwb Gr wk vxssruw flqw doorfdwlrqvb Frxog v vwpv zlwk sulydw flufxodwlqj oldelolwlv jly ulv wr d surixvlrq ri txloleuld/ ru zkdw Iulgpdq pljkw fdoo _{fvvly yrodwlolw %B 161 Pdlq uvxowv dqg klvwrulfdo suvsfwly1 Dpulfdq klvwru kdv surgxfg d forv dssur{lpdwlrq wr d v vwp ri sulydw prq fudwlrq1 Dffruglqj wr Wplq +<9<,/ doprvw <3 sufqw ri wk X1V1 prq vxsso 8 lq ;63 frqvlvwg ri sulydw edqnqrwv1 Gxulqj wklv sulrg ri klvwru / gluqw qrwv flufxodwg dw gluqw glvfrxqwv dqg supld +rxwvlg wklu orfdwlrq ri ruljlq,1 Lq dgglwlrq/ wkv glvfrxqwv dqg supld xfwxdwg1 Wkxv kroguv ri gluqw edqnqrwvsulydwo 0lvvxg fxuuqflvsrwqwldoo idfg vxe0 vwdqwldoo gluqw dqg xfwxdwlqj udwv ri uwxuq rq wklu udo edodqfv1 Zkdw {sodlqv wk glvfrxqwv dqg supld rq qrwvb Dqg zkdw {sodlqv wk xfwxdwlrqv lq wkpb Frpprqo sursrvg fdqglgdwv du wudqvsruwdwlrq frvwv +frvwv ri rulqj wk qrwv iru ugpswlrq, dqg wk ulvn ri gidxow1 Exw Jruwrq +<;<, kdv vkrzq wkdw qrw glvfrxqwv ufwg wudqvsruwdwlrq frvwv rqo wr d yu olplwg {wqw/ dqg Uroqlfn/ Vplwk e AÄt t? TL? _i?tl? L? ÄUÄ LÃ L_i* _git ul k)l!?_ `}Ä E bhbc bb D AÄ tc UL?t T*Ãt T i*)ttãi_ M?!?L it AÄt U*UÃ* L? }?Lit _itlt tc ÄLti L?i ) L*i t i) * i_ Äi i Æ i* i*) *}i uu L? Lu M?!?L it? Hf ii ttãi_ M) Äi 5iUL?_?! Lu Äi N? i_ 5 itc Ä i Äi? L?<t tl*i ui_i**) UÄ ii_ M?! Ã c ii? Äi 5iUL?_?! t Hf TiUi? T i*) L?i_

6 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 7 dqg Zeu +<<9, vkrz wkdw gidxow ulvnv zu riwq plqlpdo1 Pruryu/ qlwku xfwx0 dwg qrxjk lq _qrupdo%wlpv wr {sodlq wk pdjqlwxg ri xfwxdwlrqv lq qrw glvfrxqwv ru supld1 Lq d v vwp ri sxuo sulydw fxuuqf lvvx/ rxu prgo jlyv ulv wr glvfrxqwv dqg supld rq qrwv xqgu zdn frqglwlrqv1 Vrp qrwv zloo e glvfrxqwg dqg vrp qrwv zloo edu supld/ yq wkrxjk wklu ugpswlrq frvwv du lgqwlfdo/ dqg yq wkrxjk wku lv qr gidxow ulvn1 Pruryu/ wkv glvfrxqwv dqg supld zloo e ufwg lq djqwv idflqj gluqw udwv ri uwxuq rq fxuuqf 1 Wklv vlwxdwlrq fdqqrw e fruufwg e d sxuo sulydw prqwdu duudqjpqw1 Pruryu/ qrw glvfrxqwv dqg supld vkrxog jqudoo e {sfwg wr xfwxdw/ yq lq wk devqf ri dq xfwxdwlrqv lq _ixqgdpqwdov1%wkxv d sxuo sulydw prqwdu v vwp zloo jly ulv wr qgrjqrxv yrodwlolw 1 Z dovr vkrz wkdw wk lqwuwpsrudo doorfdwlrq ri uvrxufv lv frqvwudlqg0lqflqw lq frqrplv ri wk Vdpxovrq w s zlwk vxflqwo _sdwlqw%wudguv1 Z q{w dvn/ zkdw kdssqv li flufxodwlqj sulydw oldelolwlv fr{lvw zlwk d vwrfn ri rxwvlg prq B Lv wklv pl{g sxeolf2sulydw prqwdu v vwp fdsdeo ri vxssruwlqj dq rswlpdo doorfdwlrq ri uvrxufvb Dqg/ zloo vxfk v vwpv glvsod lqgwuplqdflv ru qgrjqrxv yrodwlolw B Iluvw/ z vkrz wkdw/ zlwk }ur gidxow ulvn/ d v vwp zlwk rxwvlg prq dqg sulydw fxuuqf grv qrw suplw glvfrxqwv ru supld rq qrwv1 Dv d uvxow/ djqwv idf lgqwlfdo udwv ri uwxuq dqg doorfdwlrqv du Sduwr rswlpdo lq d vwdg vwdw zku rxwvlg prq kdv ydox1 Krzyu/ xfwxdwlrqv lq sulf oyov dqg udwv ri uwxuq zloo e revuyg rxwvlg wklv vwdg vwdw1 Dqg/ dorqj g qdplfdo txloleulxp sdwkv/ wkv xfwxdwlrqv zloo qrupdoo gdpsq rqo yu vorzo 1 Wkxv {fvvly yrodwlolw frqwlqxv wr e d idwxu ri dq frqrp lq zklfk rxwvlg prq dqg sulydw fxuuqf fr{lvw1 Exw/ wk vfrs iru lqgwuplqdf ku lv qr judwu wkdq lq d frqyqwlrqdo ryuodsslqj jqudwlrqv prgo zlwk rqo rxwvlg prq 1 Ilqdoo / z frqvlgu dq frqrp zku sulydw flufxodwlqj oldelolwlv du surklelwg/ dqg wk jryuqpqw kdv d prqrsro ri fxuuqf lvvx1 Lq rxu qylurqpqw/ d surklelwlrq ri sulydw fxuuqf fudwlrq suyqwv krxvkrogv iurp vprrwklqj frqvxpswlrq dqg jqudwv yu vulrxv lqflqflv1 Lw grv qrw olplqdw yrodwlolw / qru grv lw ugxf wk gju

7 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 8 ri lqgwuplqdf 1 Zkdw gr z frqfoxg iurp wklvb Iluvw/ d v vwp ri sxuo sulydw fxuuqf lvvx lv jqudoo qrw jrlqj wr surgxf yq d frqvwudlqg0flqw doorfdwlrq ri uvrxufv1 Frq0 vwudlqg flqf utxluv oxps0vxp wd{v dqg wudqviuv> ixoo flqf utxluv erwk lqvlg dqg rxwvlg prq 1 Vfrqg/ wk {lvwqf ri vdi/ sulydwo 0lvvxg oldelolwlv grv qrw wkudwq frqrplf flqf 1 Lq idfw/ d pl{ ri sulydw dqg jryuqpqw fxuuqf lvvxv surprwv flqf 1 Wkxv rxu dqdo vlv grv qrw vxssruw dujxpqwv wkdw d sxuo sulydw prqwdu v vwp lv wr e gvlug1 Lw grv vxssruw d yuvlrq ri wk udo eloov grfwulq1 Dv Iulgpdq frqmfwxug/ frqrplv wkdw qg sulydw flufxodwlqj oldelolwlv wr dfkly flqf zloo e yrodwlo1 Exw wklv yrodwlolw fdqqrw w slfdoo e olplqdwg vlpso e sur0 klelwlqj sulydw lvvx ri qrwv/ dqg surklelwlqj flufxodwlqj sulydw oldelolwlv kdv srwqwldoo oduj zoidu frvwv iru eruurzuv1 A jwnan6+ Ataj 6NAj+ NA,+ 511 Wk qylurqpqw1 Z frqvlgu d sxu {fkdqj frqrp frqvlvwlqj ri dq lq0 qlw vtxqf ri wku0sulrg olyg/ ryuodsslqj jqudwlrqv1 Lq dfk sulrg djqwv lqkdelw wzr orfdwlrqv/ zklfk du lqg{g e k > 5= Z ow w 3> > === lqg{ wlp1 Doo rxqj jqudwlrqv du lgqwlfdo lq vl} dqg frpsrvlwlrq/ dqg doo rxqj djqwv du glylgg lqwr wzr jurxsv/ zklfk z odeo dv eruurzuv dqg oqguv iru udvrqv wkdw zloo efrp fodu eorz1 Lq dfk sulrg djqwv du qgrzg zlwk vrp ri d vlqjo qrqvwrudeo frqvxpswlrq jrrg1 Ow m >m> 5> 6> gqrw wk dj m qgrzpqw ri wklv jrrg iru d oqgu dqg ow z m >m> 5> 6> gqrw wk dj m qgrzpqw ri wklv jrrg iru d eruurzu1 Iru vlpsolflw z dvvxp wkdw A 3/ zklo 5 6 3/dqgwkdwz5 A 3/ zklo z z6 3= Ow f c>k>w +w m, > zlwk m 3> > 5dqgk > 5> gqrw wk wlp w m frqvxpswlrq ri d oqgu eruq dw wlp w lq orfdwlrq k/ dqgowf e>k>w +w m, > zlwk m 3> > 5dqgk > 5> gqrw wk wlp w m frqvxpswlrq ri d eruurzu eruq dw wlp w lq orfdwlrq k1 9 Z dvvxp wkdw wk oliwlp xwlolw ri d oqgu eruq dw dq duelwudu gdw w lv jlyq e x ^f c>k>w +w, >f c>k>w +w,>f c>k>w +w 5,`oqf c>k>w +w, oq f c>k>w +w,> +, S N?_i Ät UL?i? L? ul }i? *ii* M*itc Äi tãmtut ititi? t Äi )Tic *LU L? Lu M Äc? i Lu M Ä Lu Äi }i?? ^Ãit L?c ittiu i*)c Ä*i Äi _ i? Ti? Äitit ititi? t Äi U Ã* i ÄUÄ? U ) LUUÃt

8 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 9 zlwk A3/ zklo wk oliwlp xwlolw ri d eruurzu eruq dw dq duelwudu gdw w lv jlyq e : y ^fe>k>w +w, >fe>k>w +w,>fe>k>w +w 5,`oqfe>k>w +w, oq fe>k>w +w,= +5, Qrw wkdw/ lq wk devqf ri rxu dvvxpswlrqv derxw vsdwldo vsdudwlrq dqg olplwg frp0 pxqlfdwlrq/ wk wklug sulrg ri djqwv* olyv zrxog lqyroy qr frqrplf dfwlylw 1 Wkxv/ lq wk devqf ri wkv dvvxpswlrqv/ rxu frqrp zrxog froodsv wr d vwdqgdug wzr sulrg ryuodsslqj jqudwlrqv prgo1 ; Z dvvxp wkdw lq dfk sulrg lq orfdwlrq wku du Q5 oqguv dqg Q eruurzuv lq wk fxuuqw rxqj jqudwlrq/ zlwk 5 ^5>,1 Lq orfdwlrq 5 wku du Q5 oqguv dqg +,Q eruurzuv= Wkxv wku lv d wrwdo srsxodwlrq ri 5Q lq dfk jqudwlrq/ zklfk lv qrw qfvvdulo txdoo glylgg dfurvv orfdwlrqv1 < E vwwlqj 5> z kdy +l, orfdwlrq lv uodwlyo oduj/ dqg +ll, wk _{fvv gpdqg%iru fuglw lq orfdwlrq lv uodwlyo oduj dw dq udw ri lqwuvw1 Vrp ri wk djqwv lq wklv frqrp pd pry ewzq orfdwlrqv1 Lq sduwlfxodu/ oqguv zkr du eruq lq orfdwlrq +5, pry wr orfdwlrq 5 +, lq plggo dj dqg wkq updlq lq wklu qz orfdwlrq zkq rog1 Z dvvxp wkdw eruurzuv vsqg wklu qwlu olyv lq wk orfdwlrq ri wklu eluwk1 Wkv dvvxpswlrqv pdq wkdw eruurzuv dqg oqguv zkr lqwudfw lq rxwk zloo qyu glufwo lqwudfw zlwk dfk rwku djdlq1 3 Ilqdoo / z dvvxp wkdwzlwklq d sulrgwku lv qr frppxqlfdwlrq dfurvv lvodqgv1 Wkxv vsdwldo vsdudwlrq dqg olplwg frppxqlfdwlrq dfurvv orfdwlrqv lpsolv wkdw wudg fdq rffxu rqo ewzq djqwv zkr du lq glufw frqwdfw zlwk dfk rwku1 Wrjwku rxu dvvxpswlrqv lpso wk iroorzlqj1 \rxqj eruurzuv lq dq jlyq orfdwlrq dw w zrxog oln wr dftxlu uvrxufv iurp rxqj oqguv1 Krzyu/ d eruurzu dqg d oqgu zloo qyu pw dfk rwku djdlq1 Wkxv wudg pxvw e dffrpsolvkg dv iroorzv1 \rxqj eruurzuv dftxlu uvrxufv dw w iurp rxqj oqguv1 Lq {fkdqj wk eruurzuv lvvx d. AÄii LÃ*_ Mi?L }i?i* ) }?i_ M) **L?} MLLit?_ *i?_it L Äi _gii? _tulã? uu Ltc * ÄLÃ}Ä ULÃ*_ Mi UULT*tÄi_ ÄLà _UÃ* ) H 6L i TLt L?t Lu Äi t? LTiL_ L_i*c tii Æ3_t E bb?_ 5}i? E bh.c ÄT i. b ÅL i Ä i Äi ttãi_ Ä c? Äi }}i} ic Äii i i^ã*?ãmit Lu MLLit?_ *i?_it Bi? Là uii_l L ) e?_ 2c Ät ttãt L? i? *t?l i* *Ltt Lu }i?i* ) f à itã* t LÃ*_ Mi Ã?* ii_ u *i?_it i Ã?i_ L Äi *LU L? Lu M Ä Äi? L*_

9 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt : fodlp djdlqvw wkpvoyv1 Oqguv wdn wkv fodlpv wr wklu qz orfdwlrq dqg/ dw w > wudg wkv fodlpv wr wk q{w jqudwlrq ri oqguv lq {fkdqj iru jrrgv1 Dw w 5 wkv qrz qzo plggo0djg oqguv eulqj wkv fodlpv edfn wr wklu orfdwlrq ri ruljlq/ zku wk du ugpg e wk ruljlqdo lvvxuv1 Wkxv dw odvw vrp wudg pxvw rffxu wkurxjk wk xv ri flufxodwlqj/ sulydwo 0lvvxg oldelolwlv1 Rxu dvvxpswlrqv lpso wkdw wzr nlqgv ri oldelolwlv fdq e lvvxg= Oldelolwlv zlwk d pdwxulw ri rq sulrg/ dqg oldelolwlv zlwk d pdwxulw ri wzr sulrgv1 Dw dfk gdw wku zloo e qzo 0lvvxg oldelolwlv ri dfk w s lq dfk orfdwlrq1 Lq dgglwlrq/ dw wlp w wku zloo e oldelolwlv flufxodwlqj lq orfdwlrq +5, zlwk d pdwxulw ri wzr sulrgv wkdw zu lvvxg lq orfdwlrq 5 +, dw w = Wkv oldelolwlv zloo pdwxu dw w lq orfdwlrq 5 +, Oqguv1 Rxu dvvxpswlrqv derxw wk lwlqudulv ri djqwv lpso wkdw d rxqj oqgu zloo dftxlu rqo orqj0pdwxulw oldelolwlv/ dowkrxjk srvvleo suylrxvo 0lvvxg rqv wkdw zloo pdwxu q{w sulrg1 Ow {>k +w, gqrw wk txdqwlw ri suylrxvo 0lvvxg old0 elolwlv dftxlug e d rxqj oqgu lq orfdwlrq k dw wlp w wkdw zloo pdwxu lq wk rwku orfdwlrq dw w = Lq wklv qrwdwlrq wk vxevfulsw _%usuvqwv wk wlp xqwlo wk oldelo0 lw _pdwxuv%+rq sulrg,/ wk vxevfulsw k gqrwv wk orfdwlrq ri dftxlvlwlrq/ dqg wk gdw lq sduqwkvv usuvqwv wk gdw ri dftxlvlwlrq1 Ow U k>n +w,> k > 5> n > 5> k 9 n> gqrw wk sulf ri wkv oldelolwlv/ lq xqlwv ri fxuuqw frqvxpswlrq/ lq orfdwlrq k dw w1 Wkq wk rq sulrg jurvv udw ri uwxuq uflyg e d oqgu prylqj iurp orfdwlrq k dw w wr orfdwlrq n dw w lv U k>n +w,1 Lq dgglwlrq/ ow {5>k +w, gqrw wk txdqwlw ri qzo 0lvvxg wzr0sulrg oldelolwlv dftxlug lq orfdwlrq k dw w e wk vdp djqw1 Wkv oldelolwlv zloo e vrog lq orfdwlrq n +n 9 k, dww iru U n>k +w, > kqf wklu fxuuqw sulf +glvfrxqwg suvqw ydox, lq orfdwlrq k lv U k>n +w, U n>k +w,1 Lw iroorzv wkdw wk exgjw frqvwudlqwv frqiurqwlqj d rxqj oqgu eruq dw dq duelwudu gdw w wdn wk irup f c>k>w +w, { >k +w, U k>n +w, {5>k +w, U k>n +w, U n>k +w, +6, dqg iru w 3/ k > 5/ dqg n 9 k1 f c>k>w +w, {>k +w, { 5>k +w, U n>k +w, +7,

10 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt ; D rxqj oqgu lq orfdwlrq k dw gdw w fkrrvv ydoxv f c>k>w +w, >f c>k>w +w,> {>k +w, dqg {5>k +w, wrpd{lpl}oqf c>k>w +w, oq f c>k>w +w,/ vxemfw wr +6,/ +7,/ {>k +w, 3> dqg {5>k +w, 3= Wk vroxwlrq wr wklv sureop vwv f c>k>w +w, +, >f c>k>w +w, ^ +,` U k>n +w, > dqg { >k +w, U k>n +w, {5>k +w, U k>n +w, U n>k +w, +8, zku w 3> k> 5> dqg k 9 n= Ilqdoo / wr vlpsoli wk qrwdwlrq/ ow +, = 5161 Eruurzuv1 Irud rxqjeruurzulqorfdwlrqk dw w pdwwuv du dv iroorzv1 Wk eruurzu fdq lvvx d fodlp wr d xqlw ri frqvxpswlrq pdwxulqj dw w 1 Vxfk d fodlp fdq e kog rqo e djqwv vwd lqj lq orfdwlrq k/ dqg lwv wlp w sulf lv U k>k +w, = Wkxv U k>k +w, lv wk jurvv rq sulrg udw ri uwxuq ewzq w dqg w iru djqwv +eruurzuv, updlqlqj lq orfdwlrq k1 Ow k +w, e wk txdqwlw ri rq0sulrg +qrq0flufxodwlqj, oldelolwlv lvvxg e d usuvqwdwly rxqj eruurzu lq orfdwlrq k dw w1 D rxqj eruurzu frxog dovr lvvx +flufxodwlqj, oldelolwlv wkdw du fodlpv wr frqvxps0 wlrq dw w 51 Wkv fodlpv zloo e vrog wr rxqj oqguv dw w/ zkr zloo wkq voo wkp dw w lq wklu qz orfdwlrq1 Wkxv/ li d eruurzu lvvxv { k +w, wzr0sulrg fodlpv lq orfdwlrq k dw w/ wkv zloo voo iru { k +w, U k>n +w, U n>k +w,/ zlwk k > 5/ n > 5> dqg n 9 k= Krz gr eruurzuv ugp wzr sulrg fodlpv zkq rog zkq wk kdy qr rog dj qgrzpqwb Wk dqvzu lv wkdw wk pxvw dftxlu fodlpv rq uvrxufv dw w zkq wk du plggo0djg1 Ow k +w, e wk txdqwlw ri rq0sulrg oldelolwlv dftxlug dw w e plggo0djg eruurzuv lq orfdwlrq k wr ugp wklu wzr0sulrg oldelolwlv wkdw zloo frp gx dw w 51 Foduo plggo0djg eruurzuv pxvw sd k +w,u k>k +w, iru wkv fodlpv1 Lq rugu wr ugp wklu oldelolwlv/ { k +w, k +w, +9, iru w 3> k> 5> pxvw krog1 Qrwlf wkdw wudqvdfwlrqv pgldwg wkurxjk flufxodwlqj oldelolwlv utxlu plggo0djg _eruurzuv%wr vdy lq rugu wr ugp wklu wzr0sulrg +flufxodwlqj, oldelolwlv1 Wkxv rxu _eruurzuv%odeo rqo dffxudwo ufwv wk ekdylru ri wkv djqwv lq wklu uvw

11 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt < sulrg ri oli1 Rq0sulrg pdwxulwlv vrog e rxqj eruurzuv du sxufkdvg e plggo0 djg eruurzuv zkr lqkdelw wk vdp orfdwlrq1 Z fdq dovr ggxf wkdw vrp vxfk fodlpv pxvw e wudgg> rwkuzlv eruurzuv frxog qrw ugp wklu flufxodwlqj oldelolwlv zkq rog1 D rxqj eruurzu lq orfdwlrq k dw w/ wkq/ fkrrvv ydoxv f e>k>w +w, >f e>k>w +w,> k +w, > k +w,> dqg { k +w, wr pd{lpl} oq f e>k>w +w, oq f e>k>w +w,/ vxemfw wr +9,/ { k +w, 3/ f e>k>w +w, k +w, U k>k +w, { k +w, U k>n +w, U n>k +w, +:, dqg f e>k>w +w, k +w, U k>k +w, z 5 k +w, = +;, Lw lv dv wr yuli wkdw dq devqf ri duelwudj rssruwxqlwlv utxluv wkdw U k>k +w, U k>k +w,u k>n +w, U n>k +w, +<, zku w 3> k > 5> dqg n > 5= Wk vroxwlrq wr wk eruurzu*v sureop wkuiru vwv f e>k>w +w, z5 +, U k>k +w, > dqg f e>k>w +w,z5 +, = Lq dgglwlrq/ z 5 { k +w, U k>k +w, k +w, +3, iru w 3dqgk > 5 krogv1 Wr vlpsoli qrwdwlrq/ z kqfiruwk ow z z5 +, = Wr vxppdul}/ wkq/ wudg lq wklv prgo utxluv wkdw rxqj eruurzuv lvvx vrp orqj0pdwxulw oldelolwlv dqg vrp vkruw0pdwxulw oldelolwlv1 Orqj0pdwxulw oldelolwlv du vrog wr rxqj oqguv zkr wdn wkp ovzku dqg wudg wkp1 Wkxv wkv oldelolwlv flu0 fxodw1 Vkruw0pdwxulw oldelolwlv du vrog wr plggo0djg eruurzuv/ zkr dftxlu wkp dv d pwkrg ri krqrulqj wklu rzq oldelolw lvvxv1 Vkruw0pdwxulw oldelolwlv gr qrw flufxodw1 Z qrz lqyvwljdw zkdw lv utxlug lq rugu iru pdunwv lq wkv oldelolwlv wr fodu Htxloleulxp1 Lq txloleulxp wku nlqgv ri oldelolwlv du wudgg= Qzo 0lvvxg rq0sulrg oldelolwlv/ qzo 0lvvxg wzr0sulrg oldelolwlv/ dqg suylrxvo 0lvvxg wzr0sulrg W?i^Ã* ) ES uluit ** *M* it L Mi _iuã* uii W? Là i Ät t? Ã* R t Uti L UL?t_i 6t c tiit TTLT i L Ã?_it?_ ÄL? iul?l) ÄLà _iuã* t! LTi it AÄt U? Mi i}_i_ t Ti*Ã_i L Ã?_it?_?} ÄL Äi TLttM* ) Lu _iuã* t! }Ä UÄ?}i it 5iUL?_c L Ã?_it?_ Äi i* M**t _LU?ic i Ãt Ã?_it?_ ÄL? iul?l) L!t Äi? tui T i *M* it i _i_ Æ?_ Ä_c t _tuãtti_ M) +L*?U!c 5 Äc?_ `imi E bbsc Rt** _iuã* t!t L??L it i Äi Ät LU**) Lt i*i? t à L?

12 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 3 oldelolwlv1 Wk pdunwv iru wkv oldelolwlv du olqng wrjwku lq wk iroorzlqj zd 1 Dw gdw w> rxqj eruurzuv lq orfdwlrq k lvvx rq0sulrg oldelolwlv zlwk d fxuuqw ydox ri k +w, U k>k +w, z U k>k +w, { k +w, U k>k +w, U k>k +w, = +, Wkv oldelolwlv du vrog wr plggo0djg eruurzuv/ zkr zlvk wr sxufkdv rq0sulrg oldelolwlv +pdwxulqj lq orfdwlrq k, zlwkdydoxri{ k +w, U k>k +w, = +Wk sxufkdv ri rq0sulrg oldelolwlv zlwk wklv ydox qdeov wkv eruurzuv wr sd r wklu oldelolwlv wkdw pdwxu dw w =, Kqf dq txdolw ewzq wk gpdqg iru qzo 0lvvxg rq0sulrg oldelolwlv dqg wklu vxsso utxluv wkdw { k +w, z { k +w, U k>k +w, +5, iru k > 5> dqg w 3= Uduudqjlqj wupv lq +5, logv wk iroorzlqj odz ri prwlrq iru flufxodwlqj oldelolwlv lvvxg e dfk eruurzu= { k +w, ^z { k +w,` U k>k +w, +6, iru k > 5> dqg w 3= Lq orfdwlrq wku du Q eruurzuv/ zklo lq orfdwlrq 5 wku du +,Q eruurzuv1 Wku du Q5 oqguv lq dfk orfdwlrq1 Lq orfdwlrq dw w> wku du +,Q{5 +w, rq0sulrg rog oldelolwlv flufxodwlqj wkdw zu lvvxg lq orfdwlrq 5 lq wk suylrxv sulrg1 Vlploduo / lq orfdwlrq 5 dw w/ wku du Q{ +w, rq0sulrg rog oldelolwlv flufxodwlqj wkdw zu lvvxg lq orfdwlrq lq wk suylrxv sulrg1 Foduo / wkq/ lq txloleulxp/ {> +w, 5+, {5 +w, dqg {>5 +w, 5{ +w, pxvw krog1 Vlploduo / {5> +w, 5{ +w, dqg {5>5 +w, 5+, {5 +w, pxvw e vdwlvg1 Xvlqj wkv frqglwlrqv lq +8,/ z rewdlq wk frqglwlrq iru wk pdunw lq flufxodwlqj oldelolwlv wr fodu lq orfdwlrq = 5 +, { 5 +w, U>5 +w, { +w, U>5 +w, U5> +w, +7, iru w 31 Vlploduo / lq orfdwlrq 5 z pxvw kdy 5 { +w, U5> +w, +, {5 +w, U5> +w, U>5 +w, +8, iru w 3=

13 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt Htxdwlrqv +7, dqg +8, jxdudqw wkdw wk pdunw iru wzr0sulrg +flufxodwlqj, oldelo0 lwlv foduv dw dfk gdw dqg lq dfk orfdwlrq1 Htxdwlrq +6, lv lpsolg e fodulqj ri wk pdunw lq rq0sulrg oldelolwlv lq dfk orfdwlrq1 Wkv txdwlrqv/ dqg wk qr0duelwudj frqglwlrqv +<, du wk txloleulxp frqglwlrqv iru dq frqrp zlwk qr rxwvlg prq 1 Il0 qdoo / lw lv dv wr vkrz wkdw wkv frqglwlrqv/ dorqj zlwk +9,0+;, dqg +3,/ lpso wk vdwlvidfwlrq ri wk iroorzlqj jrrgv pdunw fodulqj frqglwlrqv= z z 5 U> +w, U5> +w, +9, 5 5 +, z +, z U5>5 +w, 5 U>5 +w, +:, iru w = Htxdwlrq +9, ^+:,` lpsolv wkdw jrrgv gpdqg txdov jrrgv vxsso lq orfdwlrq +5, dw dfk gdw diwu wk lqlwldo sulrg1 Lq wk lqlwldo sulrg/ w 3> z dvvxp wkdw plggo0djg eruurzuv lq orfdwlrq k kdy dq lqkulwg vwrfn/ { k +,/ k > 5/ ri suylrxvo 0lvvxg oldelolwlv1 Kqf { +, dqg {5 +, du jlyq dv lqlwldo frqglwlrqv Vwdg vwdw txloleuld1 Z ejlq rxu dqdo vlv ri txloleuld zlwk sulydwo 0 lvvxg flufxodwlqj oldelolwlv e frqvlgulqj vwdg vwdwv1 Lq d vwdg vwdw txloleulxp z kdy U> +w, U> U5>5 +w, U55> U>5 +w, U5> U5> +w, U5> { +w, {> dqg {5 +w, {5= Lq d vwdg vwdw wk qr0duelwudj frqglwlrqv U> +w, U> +w, U>5 +w, U5> +w,dqgu5>5 +w, U5>5 +w,u5> +w, U>5 +w, lppgldwo lpso wkdw U U55 U> dqg wkdw Pruryu/ lq d vwdg vwdw/ +6, logv { {5 U5U5 U 5 = +;, U U z= +<, Gqlqj U> z fdq dovr zulw wk vwdg vwdw yuvlrqv ri +7, dqg +8, dv U5 5+, { { +53, dqg U5 5{ 5+, 5 {5 = +5,

14 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 5 Xvlqj U5U5 5 >{ {5 z +, > dqg txdwlrqv +53, dqg +5,/ z rewdlq wk vlqjo txloleulxp frqglwlrq 7+,z 5 5 +, 5+, z 5 +, 5z 5 = +55, Foduo dq vwdg vwdw txloleulxp ydox ri pxvw vdwlvi +55,1 Lq dgglwlrq/ lw pxvw lpso srvlwly ydoxv iru U5 dqg U5= Htxdwlrqv +<,/ +53,/ dqg +5,/ dorqj zlwk wk frqglwlrq 5> lpso wkdw U5 A 3dqgU5 A 3krogl vdwlvv 5? 5z = +56, Wkxv dq vroxwlrq wr +55, wkdw dovr re v +56, lv d ojlwlpdw vwdg vwdw txloleulxp ydox ri = Z qrz vwdw d uvxow derxw vxfk vroxwlrqv1 Sursrvlwlrq 1 Wku lv d xqltx vwdg vwdw txloleulxp ydox/ gqrwg e B > wkdw vdwlvv +55, dqg +56,1 Wk vwdg vwdw txloleulxp lqwuvw udwv U dqg U55 du txdo wr U B B 1 Surri1 V Dssqgl{ D Sursuwlv rivwdg vwdw txloleuld= lqwuvw udwv1 Lq rugu wr fkdudfwu0 l} wk vwdg vwdw txloleulxp ydoxv U dqg U55 +U B,/ lw lv xvixo wr surfg dv iroorzv1 Lpdjlq wkdw doo djqwv lq rxu frqrp lqkdelwg wk vdp orfdwlrq/ ru txlydoqwo / wkdw lqwu0orfdwlrq wudg zdv srvvleo1 Fdoo wklv dqdorj wr rxu qylurqpqw wk fqwudol}g +wudglqj, frqrp / dqg fdoo rxu dfwxdo frqrp wk gfqwudol}g frqrp 1 Lq wk fq0 wudol}g frqrp / wk xqltx txloleulxp udo udw ri lqwuvw +vwdg vwdw ru rwkuzlv, lv U z = Li z +?, wk txloleulxp ri wk fqwudol}g frqrp lv g qdplfdoo flqw +lqflqw,/ dqg wku lv qr uro +wku lv d uro, iru rxwvlg prq 1 Jdo +<:6, uiuv wr frqrplv zlwk za +?, dv _fodvvlfdo%+_vdpxovrq%, frqrplv1 Wk q{w uvxow vkrzv zkdw kdssqv lq gfqwudol}g frqrplv zkq qgrzpqw sdwwuqv pdn wklu fqwudol}g dqdorjv Vdpxovrqldq ru fodvvlfdo1 Sursrvlwlrq 51 Sduw +d,1 Li 5 +orfdwlrqv du v ppwulf,/ wkq B U B z1 Sduw +e,1 Li A5 dqg z? > wkq B U B 5 +z>, = Sduw +f,1 Li A5 dqg z A > wkq B U B 5 +>z,1

15 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 6 Surri1 V Dssqgl{ E1 Sursrvlwlrq 5 dvvuwv wkdw li wk orfdwlrqv du v ppwulf/ wkq vsdwldo vsdudwlrq dqg olplwg frppxqlfdwlrq kdy qr fw rq wk vwdg vwdw doorfdwlrqv uflyg e eruurzuv +dqg/ dv z vkrz eorz/ rq oqguv dv zoo,1 Lq dgglwlrq/ wkv idwxuv gr qrw dfw wk frqglwlrqv xqgu zklfk dq frqrp dgplwv d uro iru rxwvlg prq 1 Ilqdoo / li wk wzr orfdwlrqv du dv ppwulf + A5,/ wkq vsdwldo vsdudwlrq dqg olplwg frppxqlfdwlrq sxw xszdug +grzqzdug, suvvxu rq udo udwv ri lqwuvw idfg e eruurzuv lq Vdpxovrq +fodvvlfdo, frqrplv1 Zkdw derxw vwdg vwdw udwv ri uwxuq idfg e oqguvb Wk q{w sursrvlwlrq vwdwv d uvxow lq wklv ujdug1 Sursrvlwlrq 61 Sduw +d,1 Vxssrv wkdw 5= Wkq U5 U5 U B? +A, lq d fodvvlfdo +Vdpxovrq, frqrp 1 Sduw +e,1 Vxssrv wkdw A5= Wkq U B AU5 li U B A > zklo U B AU5 li U B? 1 Surri1 V Dssqgl{ F1 Sursrvlwlrq 6 pdnv wzr lpsruwdqw fodlpv1 Iluvw/ lq dq lqvlg0prq 0rqo frqrp / udwv ri lqwuvw idfg e eruurzuv dqg udwv ri lqwuvw idfg e oqguv fdq qyu e txdo +xqovv 5 ru z,1 Wkxv/ vlqf wk pdujlqdo udwv ri vxevwlwxwlrq ewzq eruurzuv dqg oqguv du qrw txdwg/ uvrxuf doorfdwlrqv du vwdwlfdoo lqflqw +uo0 dwly wr zkdw lv srvvleo lq d fqwudol}g frqrp,1 Vfrqg/ li A5> wkq oqguv lq gluqw orfdwlrqv zloo dovr idf gluqw udwv ri uwxuq1 Kqf wklu pdujlqdo udwv ri vxevwlwxwlrq du xqtxdo1 Qrw dovr wkdw wk vljq ri U B gsqgv rqo rq wk vljq ri z> kqf qgrzpqw sdwwuqv dorq gwuplq zklfk oqguv duq kljk uwxuqv rq vdylqjv1 Sursrvlwlrq 6 dovr kdv lpsolfdwlrqv iru wk glvfrxqwv dqg supld revuyg rq gluqw flufxodwlqj oldelolwlv1 Zkq U kn? +A,U kk > suylrxvo 0lvvxg flufxodwlqj oldelolwlv voo dw d glvfrxqw +suplxp, lq orfdwlrq kuodwly wr qrqflufxodwlqj oldelolwlv1 Wkxv/ dv lpsolg e Sursrvlwlrq 6/ li A5 vxfk oldelolwlv voo dw d suplxp +glvfrxqw, lq orfdwlrq lq d fodvvlfdo +Vdpxovrq, frqrp = Wk frqyuv lv wux lq orfdwlrq 5= Qrwlf

16 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 7 wkdw zkrv oldelolwlv edu d glvfrxqw ru suplxp gsqgv rqo rq wk qgrzpqw sdwwuqv ri eruurzuv dqg oqguv/ qrw rq wk uodwly pdjqlwxgv ri wk {fvv gpdqg iru fuglw lq wk gluqw orfdwlrqv1 Wk glvfrxqw ru suplxp rq qzo 0lvvxg oldelolwlv lq orfdwlrq kuodwly wr qrqflu0 fxodwlqj oldelolwlvlv U kk U kn U nk U kk = Lq d vwdg vwdw/ wklv glvfrxqw2suplxp lv lgqwlfdo dfurvv orfdwlrqv1 Wklv revuydwlrq kdv dq lppgldw fruroodu = Suylrxvo 0lvvxg wzr0sulrg flufxodwlqj oldelolwlv dqg qzo 0lvvxg wzr0sulrg oldelolwlv zloo edu gluqw glvfrxqwv1 Dv d frqvtxqf/ wk glvfrxqw ru suplxp rq dq jlyq _qrw%ru oldelolw pxvw xfwxdw ryu wlp1 Lq dgglwlrq/ suifwo vdi oldelolwlv ri gluqw lvvxuv zloo qrw kdy wk vdp glvfrxqw lq wk vdp orfdwlrq1 Erwk revuydwlrqv vp frqvlvwqw zlwk wk idfwv pqwlrqg lq wk lqwurgxfwlrq frqfuqlqj glvfrxqwv dqg supld rq sulydwo 0lvvxg edqnqrwv lq wk dqweooxp X1V1 51:1 Frqvwudlqg flqf rivwdwlrqdu txloleuld1 Z {dplq q{w zkwku wk vwdwlrqdu doorfdwlrqv gvfuleg e txdwlrqv +;,0+55, fdq e lpsuryg xsrq e d fqwudo sodqqu zkr lv deo wr udoorfdw qgrzpqwv dprqj lqglylgxdov lqkdelwlqj wk vdp orfdwlrq/ exw fdqqrw wudqviu uvrxufv ewzq gluqw orfdwlrqv1 Wk sodqqu wkxv pd{lpl}v d frqy{ frpelqdwlrq ri wk vwdwlrqdu ruglqdo xwlolwlv iru djqwv +m> k, zku m e> c dqg k > 5/ vxemfw wr wzr glvwlqfw uvrxuf frqvwudlqwv iru orfdwlrqv dqg 5= D frqvwudlqg0flqw vwdwlrqdu doorfdwlrq zlwk txdo wudwpqw lv d olvw if >m>k >f p>m>k j ri vwdwlrqdu frqvxpswlrqv iru rxqj +, djqwv ri w s +m> k, dqg plggo0djg + p, djqwv ri wk vdp w s/ zklfk pd{lpl}v wk vrfldo zoidu ixqfwlrq Z [ [ ^ m>k +oq f >m>k oq f p>m>k, + m>k, f p>m>k` +57, m5ie>cj k5i>5j vxemfw wr wk uvrxuf frqvwudlqwv iru orfdwlrq > dqg 5 ^f >c> f p>c>5` ^f >e> f p>e>` 5 z 5 +58, 5 ^f >c>5 f p>c>` +,^f >e>5 f p>e>5` 5 +, z 5 +59,

17 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 8 iru orfdwlrq 51 Ku m>k 5 +3> ` lv wk zljkw dvvljqg e wk sodqqu wr d w s +m> k, ppeu ri d qrupdo jqudwlrq/ dqg m>k lv wk zljkw dvvljqg wr wk vdp w s ri wk wudqvlwlrqdo jqudwlrq/ eruq plggo0djg dw wlp 1 Wk uvw0rugu frqglwlrqv iru wklv sureop ugxf wr= ^PUV +e> k,`5 PUV+c>, PUV +c> 5, +5:, iru k > 5> zku PUV +m> k, lv wk devroxw ydox ri wk pdujlqdo udw ri vxevwlwxwlrq iru krxvkrog +m> k, = Wkv frqglwlrqv utxlu wkdw doo eruurzuv idf d frpprq pdujlqdo udw ri vxevwlwxwlrq zklfk vkrxog e qr ovv wkdq _rq soxv wk jurzwk udw ri uvrxufv/%zklo oqguv lq gluqw orfdwlrqv pd idf gluqw pdujlqdo udwv ri vxevwlwxwlrq1 Krzyu/ wk oqguv* pdujlqdo udwv ri vxevwlwxwlrq pxvw kdy d jrpwulf dyudj txdo wr wk frpprq PUV ri eruurzuv1 Iurp txdwlrq +;, dqg Sursrvlwlrq 5/ lw lv dv wr fkfn wkdw vwdwlrqdu txloleuld du frqvwudlqg rswlpd rqo lq fodvvlfdo frqrplv lq zklfk wk logv/ dqg wk fruuvsrqglqj pdujlqdo udwv ri vxevwlwxwlrq/ {fg xqlw 1 Vwdwlrqdu logv lq Vdpxovrq frqrplv zlwk flufxodwlqj sulydw oldelolwlv du eorz wk qdwxudo jurzwk udw> kqf doorfdwlrqv fdq e lpsuryg e d v vwp ri oxps0vxp wd{v dqg wudqviuv dprqj djqwv olylqj lq wk vdp orfdwlrq1 51;1 Htxloleulxp g qdplfv1 Z qrz wdn xs wk wrslf ri g qdplfdo txloleuld zlwk flufxodwlqj oldelolwlv1 Wr gr vr/ xv dv vwdw yduldeov wk txdqwlwlv { k +w, ri wzr0sulrg fodlpv lvvxg e rxqj eruurzuv dw wlp w lq orfdwlrq k= Z dovr gq wk odjjg ydoxv y k +w, { k +w, dqg wk dx{loldu ixqfwlrqv i ^{ +w, >{5 +w, >{5 +w 5,` +5;, {5 +w, 5+,^z {5 +w,` ^z {5 +w 5,` > 5{ +w, {5 +w, T ^{ +w, >{5 +w, >{5 +w 5,` +5<, 5z ^z { +w,` i ^{ +w, >{5 +w, >{5 +w 5,` > + 5z,i ^{ +w, >{5 +w, >{5 +w 5,` j ^{ +w, >{5 +w, >{ +w 5,` +63,

18 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 9 { +w, 5 ^z { +w,` ^z { +w 5,` > 5+,{ +w, {5 +w, dqg ] ^{ +w, >{5 +w, >{ +w 5,` +6, 5+,z ^z {5 +w,` j ^{ +w, >{5 +w, >{ +w 5,` = ^ 5+,z`j^{ +w, >{5 +w, >{ +w 5,` Wkq z vkrz lq Dssqgl{ G wkdw g qdplfdo txloleuld du vroxwlrqv wr wk g qdplfdo v vwp { +w, T ^{ +w, >{5 +w, >y5 +w,` > +65, {5 +w, ] ^{ +w, >{5 +w, >y +w,` > +66, y +w, { +w, > +67, y5 +w, {5 +w, = +68, Z qrz surfg wr dqdo } orfdo g qdplfv lq d qljkerukrrg ri wk xqltx vwdg vwdw1 Wklv vwdg vwdw kdv { {5 { z B > +69, zku B lv wk vwdg vwdw lqyuv jurvv udo uwxuq gulyg dery1 Olqdul}lqj wk v vwp +65, 0 +68, lq d qljkerukrrg ri wk vwdg vwdw logv 3 3 { +w, { { +w, { {5 +w, { {5 +w, { M E y +w, { F E y +w, { F C D C D y5 +w, { y5 +w, { +6:, zku wk Mdfreldq pdwul{ lv jlyq e 3 T T5 3 T6 ] ]5 ]6 3 M E C F D +6;, dqg zku wk sduwldo gulydwlyv +T l >] l, 6 l du ydoxdwg dw wk vwdg vwdw1

19 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt : Wk ljqydoxv ri M du wk urrwv ri wk iroorzlqj sro qrpldo= S +, 7 +T ]5, 6 +T]5 T5], 5 +T5]6 T6], T6]6 3= +6<, Sursrvlwlrq 7 jlyv d fkdudfwul}dwlrq ri wkv ljqydoxv1 Sursrvlwlrq 71 Vxssrv wkdw?1 Wkq +d, M kdv irxu udo ljqydoxv> +e, U B B lv dq ljqydox ri M> +f,m kdv dq ljqydox lq wk lqwuydo ++ B,> 3,> +g, lv dq ljqydox ri M> +,li + B, 6 k + B, 5 l 5+,z > +73, wkq M kdv dq ljqydox lq wk lqwuydo +>,> +i, d vxflqw frqglwlrq iru txdwlrq +73, wr e vdwlvg lv wkdw z > ru wkdw 5 5+,z 5 = +7, Surri1 V Dssqgl{ H1 Z vkrxog qrw wkdw {wqvly qxpulfdo dqdo vlv uydog wkdw wk srvlwly ljqydox ri M dozd v {fgv xqlw / yq li +73, idlov wr krog1 Wk qdwxu ri wklv dqdo vlv lv gvfuleg lq wk q{w vxevfwlrq1 Sursrvlwlrq 7 vwdwv wkdw/ lq d Vdpxovrq frqrp + B A,/ M kdv dw odvw wzr ljqydoxv lq wk lqwuydo +> 3,= Wkxv/ lw lv srvvleo wr dssurdfk wk vwdg vwdw> dq sdwkv wkdw gr dssurdfk wk vwdg vwdw zloo glvsod vorzo gdpsg rvfloodwlrq1 Vfrqg/ lq d fodvvlfdo frqrp + B?,/ txdwlrq +73, qfvvdulo krogv1 Wkq M kdv rqo rq ljqydox lq wk lqwulru ri wk xqlw lqwuydo1 Wklug/ lv dozd v dq ljqydox ri M= Wkxv wk g qdplfdo v vwp frqvlvwlqj ri txdwlrqv +65,0+68, dozd v srvvvvv d fqwu pdqlirog1 G qdplfv dorqj wk fqwu pdqlirog du lqyvwljdwg lq wk q{w vxevfwlrq1 Wk uvxowv mxvw gvfuleg lqglfdw wk iroorzlqj idfw1 Dorqj dq txloleulxp sdwk wkdw frqyujv wr wk vwdg vwdw/ sulydwo 0lvvxg flufxodwlqj oldelolwlv du qfvvdulo d vrxuf ri qgrjqrxv rvfloodwlrqv1 51<1 Prwlrq rq wk fqwu pdqlirog1 Dv z kdy qrwg/ wk vwdg vwdw srvvvvv d fqwu pdqlirog1 Z qrz iroorz wk surfgxu rxwolqg e Zljjlqv +<<3, wr fkdudfwul}

20 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt ; wk vwdelolw ri wk g qdplfdo v vwp dorqj wk fqwu pdqlirog lq d qljkerukrrg ri wk vwdg vwdw1 Wk vvqwldo lgd lv wkdw wk uvw0rugu dssur{lpdwlrq wr wk g qdplfdo v vwp grv qrw log vxflqw lqirupdwlrq wr ixoo fkdudfwul} orfdo g qdplfv lq d qljkerukrrg ri wk vwdg vwdw/ dqg vr wk q{w vws lv wr frqvwuxfw d vfrqg0rugu dssur{lpdwlrq1 Qdwxudoo lw lv qrw srvvleo wr gr vr dqdo wlfdoo 1 Wkuiru/ z frqvwuxfw d qxpulfdo dssur{lpdwlrq wr wk fqwu pdqlirog dfurvv d vw wkdw vvqwldoo _vsdqv wk vsdf%ri srvvleo sdudpwu ydox1 Wk surfgxuv xqguo lqj wk frqvwuxfwlrq ri wk fqwu pdqlirog du gvfuleg lq Dssqgl{ I1 Z ejlq zlwk Vdpxovrq +z?, frqrplv1 Lq rxu qxpulfdo {uflv/ z vdpsog /333 frqrplv zlwk dqg zlwk z vofwg xvlqj d xqlirup glvwulexwlrq ryu wk lqwuydo +3>,1 5 Wklv surfgxu froofwv d vdpso ryu doo srvvleo udwlrv ri z wkdw du frqvlvwqw zlwk wk Vdpxovrq fdv1 Wk sdudpwu zdv vofwg xvlqj d xqlirup glv0 wulexwlrq ryu wk lqwuydo +5>,1 Sursrvlwlrq 7 vwrsv vkruw ri vkrzlqj wkdw wk srvlwly ljqydox dvvrfldwg zlwk wk olqdul}dwlrq dw wk vwdg vwdw lv dozd v judwu wkdq rq1 Exw qxpulfdo fdofxodwlrqv iru wkv /333 frqrplv lqglfdwg wkdw wk srvlwly ljq0 ydox dozd v {fgg xqlw 1 Z wkuiru du oiw zlwk wzr vwdeo/ qjdwly ljqydoxv dqg dq ljqydox txdo wr = Rxu qxpulfdo fdofxodwlrq ri wk prwlrq rq wk fqwu pdqlirog iru wklv fdv lqglfdwg wkdw wk g qdplfv dorqj wk fqwu pdqlirog du dozd v vwdeo +wkdw lv/ iru doo > 333 frqrplv z vdpsog,1 Vlqf z kdy wzr lqlwldo frqglwlrqv/ z frqfoxg wkdw txloleulxp lv lqgwuplqdw zlwk rq gju ri iugrp1 Wkxv wku du pdq txloleulxp sdwkv iru jlyq lqlwldo frqglwlrqv1 Lq dgglwlrq/ dorqj dq txloleulxp sdwk/ wk frqrp zloo glvsod rvfloodwru prwlrq q urxw wr wk vwdg vwdw1 Wkv rv0 floodwlrqv du gdpsg/ exw pd gfd rqo yu vorzo zlwk wlp/ efdxv ri wk suvqf ri d fqwu pdqlirog1 Z qrz wxuq wr fodvvlfdo frqrplv1 Ku z vdpsog /333 frqrplv zlwk z dqg zlwk vofwg xvlqj d xqlirup glvwulexwlrq ryu wk lqwuydo +3>,/ dqg z fkrv dv eiru1 Djdlq/ wklv surfgxu froofwv d vdpso ryu doo srvvleo udwlrv ri z wkdw du frqvlvwqw zlwk wk fodvvlfdo fdv1 Dqg dv eiru/ wk srvlwly ljqydox glvfxvvg 2 Æ? i? L? Lu Äi i^ã*mã UL?_ L?t **?_U i Ä Äi *Ãit e? L?L i? Ã**) ul Äi TLTi it Lu i^ã*mã?*) Äi L e* it

21 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt < )LJXUH &HQWHUÃPDQLIROGÃG\QDPLFVÃFODVVLFDOÃFDVHÃHFRQRPLHV ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃ6WDEOHÃUHJLRQ e 8QVWDEOHÃUHJLRQ g Iljxu = i? i?ul* )?Ut ul U*ttU* Uti iul?lit t^i?_u it?_l*) ti*iu i_ iul?l) U _tt*)i_?t M*i Ui? i?ul* )?Ut Ai M*?! i ULi ttl?_t L iul?lit U _ t M*i Ui? i?ul* )?Ut Ai t M*i i}l? t ttlu i_ _i i?u) Lu i^*m lq Sursrvlwlrq 7 zdv dozd v judwu wkdq xqlw 1 Wklv odyv xv zlwk rq qjdwly/ vwdeo ljqydox dv zoo dv wk ljqydox txdo wr 1 Wk fdofxodwlrq ri wk frqrp *v prwlrq dorqj wk fqwu pdqlirog lqglfdwg wkdw wk g qdplfv fdq e lwku vwdeo ru xqvwdeo1 Iljxu glvsod v ujlrqv ri wk sdudpwu vsdf wkdw golyu vwdelolw ru lqvwdelolw 1 Wk vvqwldo pvvdj ri wk jxu lv wkdw iru oduj qrxjk ydoxv ri > wk g qdplfv dorqj wk fqwu pdqlirog du vwdeo/ dqg kqf/ frpelqg zlwk wk rq vwdeo ljqydox dqg wk wzr lqlwldo frqglwlrqv/ txloleulxp lv gwuplqdw1 Li wk frqrp lv uodwlyo dv ppwulf + $,/ wkq wk plqlpxp ydox ri frqvlvwqw zlwk gwuplqdf idoov1 Iru uodwlyo orz ydoxv ri / dqg qrw wrr oduj/ wk g qdplfv rq wk fqwu pdqlirog du xqvwdeo/ dqg kqf wk vwdg vwdw fdqqrw jqudoo e dssurdfkg1 6 Wr vxppdul}/ dq txloleulxp sdwkv wkdw gr dssurdfk wk vwdg vwdw glvsod rvflo0 Æ UÄU i3 L? Lu Äi }*LM* _)?Ut t?l t }Ä ul_c?_ i!?l * *i MLà Äi TLT i it Lu i^ã*mã? Ät t à L?

22 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 53 odwlrq q urxw1 Wklv lv wux ri erwk Vdpxovrq dqg fodvvlfdo frqrplv1 Wkv rvfloodwlrqv du gdpsg/ exw gx wr wk suvqf ri dv dq ljqydox/ wk pd gdpsq rqo yu vorzo 1 Vdpxovrq frqrplv vxssruw Iulgpdq*v +<93, frqmfwxu wkdw sulydwo 0lvvxg/ flufxodwlqj oldelolwlv fdq jly ulv wr dq lqgwuplqdf ri txloleulxp1 Z frqfoxg wkdw doo frqrplv zlwk sulydwo 0lvvxg flufxodwlqj oldelolwlv zloo glvsod qgrjqrxvo dulvlqjru _{fvvly%yrodwlolw / mxvw dv Iulgpdq +<93, dvvuwg1 A jwnan6+ ON Ataj BAa N taj 6NAj+ 611 Fkdqjv wr wk qylurqpqw1 Z qrz doorz iru wk srvvlelolw wkdw d vwrfn ri dw +rxwvlg, prq fr{lvwv dorqjvlg sulydw flufxodwlqj oldelolwlv1 Z dvvxp wkdw wkv jryuqpqw0lvvxg oldelolwlv du qyu ugpg1 H{fsw iru wk suvqf ri rxwvlg oldelolwlv/ doo rwku idwxuv ri wk frqrp du xqdowug1 Wkxv/ lq wklv frqrp / dv lq wk suylrxv frqrp / eruurzuv fdq lvvx erwk rq0 dqg wzr0sulrg oldelolwlv1 Wk odwwu zloo flufxodw/ dv gvfuleg dery/ sulru wr elqj ugpg1 Oqguv fdq krog wk flufxodwlqj oldelolwlv ri eruurzuv dqg/ lq dgglwlrq/ wk fdq qrz krog jryuqpqw0lvvxg dw fxuuqf 1 Z ow P e wk frqvwdqw su fdslwd vwrfn ri rxwvlg prq / dqg z ow s k +w, e wk wlp w groodu sulf ri d xqlw ri frqvxpswlrq lq orfdwlrq k1 Ilqdoo / dv eiru/ lqvlg oldelolwlv du +lqg{g, fodlpv wr ixwxu frqvxpswlrq Oqguv1 Ow p k +w, e wk udo ydox ri rxwvlg prq edodqfv dftxlug e d rxqj oqgu dw gdw w lq orfdwlrq k1 Wkq wklv djqw fkrrvv ydoxv f c>k>w +w, >f c>k>w +w,> {>k +w, > {5>k +w, > dqg p k +w, wr pd{lpl} oq f c>k>w +w, oq f c>k>w +w,> vxemfw wr f c>k>w +w, { >k +w, U k>n +w, {5>k +w, U k>n +w, U n>k +w, p k +w, +75, dqg f c>k>5 +w, {>k +w, { 5>k +w, U n>k +w, p s k +w, k +w, +76, s n +w, iru k > 5> n> 5> dqg n 9 k= Lq rugu iru erwk lqvlg dqg rxwvlg prq wr e kog lq wklv frqrp / erwk pxvw fduu wk vdp rq sulrg jurvv udw ri uwxuq1 Vlqf rxqj oqguv zkr fduu rxwvlg prq iurp orfdwlrq +5, wr orfdwlrq 5 +, ewzq w dqg w e ÅL Ä?} UÄ?}it? Äi?*)tt u?t_i *M* it i U* L _i*i) Lu LÃ t_i L?i) tli uã Ãi _ i

23 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 5 duq wk jurvv udo uwxuq s +w, s5 +w,^s5 +w, s +w,`> lw iroorzv wkdw U>5 +w, s +w, s5 +w, +77, dqg U5> +w, s5 +w, s +w, +78, iru doo w 3= Wk vroxwlrq wr wk oqgu*v sureop lv wr vw f c>k>w +w, +, dqg Djdlq/ z ow +,1 f c>k>w +w, U k>n +w, = +79, 6161 Eruurzuv1 Iru rxqj eruurzuv pdwwuv du vvqwldoo wk vdp dv eiru/ {0 fsw wkdw wk wrr fdq fduu dw prq ewzq sulrgv1 Iru plggo0djg _eruurzuv% dq reylrxv prwly iru grlqj vr {lvwv= Kroglqj rxwvlg prq qdeov wkp wr ugp wk flufxodwlqj oldelolwlv wk lvvxg zkq rxqj1 Eruurzuv lq wklu uvw sulrg ri oli kdy qr reylrxv udvrq wr krog jryuqpqw oldelolwlv1 Krzyu/ lw lv lqqrfxrxv wr doorz wkp wr gr vr1 Dqg/ dv z zloo v/ doorzlqj wkp wr gr vr idflolwdwv d sduwlfxodu lqwusuwdwlrq ri wk prgo1 Wkxv z doorz erwk rxqj dqg plggo0djg eruurzuv wr dffxpxodw udo edodqfv lq yu sulrg1 Ow } k +w, ^ } k +w,` e wk txdqwlw ri udo edodqfv kog e d rxqj +plggo0djg, eruurzu ewzq w dqg w +w dqg w 5,1 Wkq d eruurzu eruq dw w idfv wk exgjw frqvwudlqwv dqg f e>k>w +w, f e>k>w +w, k +w, U k>k +w, { k +w, U k>n +w, U n>k +w, } k +w, +7:, k +w, U k>k +w, } k +w, z5 k +w, } k +w, sk +w, s k +w, = +7;, Ilqdoo / d plggo0djg eruurzu eruq dw w pxvw krog qrxjk fodlpv rq sulrg w 5 frq0 vxpswlrq wr qdeo klp wr ugp wk flufxodwlqj oldelolwlv k lvvxg dw w1 Jlyq wk delolw ri vxfk dq djqw wr krog rxwvlg prq / wk dssursuldw dqdorj ri txdwlrq +9, lv { k +w, k +w, } k +w, s k +w, s k +w 5, +7<,

24 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 55 iru k > 5= D rxqj eruurzu lq orfdwlrq k dw w fkrrvv ydoxv f e>>w +w, >f e>5>w +w,>{ k +w, > k +w, > k +w,>} k +w, > dqg } k +w, wr pd{lpl} oq f e>k>w +w, oq f e>k>w +w,> vxemfw wr +7:,0 +7<,/ { k +w, 3> dqg k +w, 31 Dv eiru/ lq rugu iru wklv sureop wr kdy d vroxwlrq/ wk qr duelwudj frqglwlrqv +<, pxvw e vdwlvg1 Lq dgglwlrq/ wk uwxuq rq udo edodqfv kog ewzq w dqg w e plggo0djg eruurzuv lv s k +w, s k +w,1 Wk uwxuq rq rq0sulrg oldelolwlv lv U k>k +w,1 Wkxv/ d odfn ri duelwudj rssruwxqlwlv iru plggo0djg eruurzuv utxluv wkdw U k>k +w, s k +w, +83, s k +w, iru w 3> dqg k > 5= Zkq wk qr duelwudj frqglwlrqv krog/ wk vroxwlrq wr d eruurzu*v sureop vwv f e>k>w +w, z5 +, U k>k +w, zu k>k +w, dqgf e>k>w +w, z> zku dv dery z z5 +, = 6171 Htxloleulxp1 Lq wk lqvlg prq rqo frqrp / lw zdv prvw frqyqlqw wr g0 vfule g qdplfdo txloleuld lq wupv ri wk vtxqfv i{ +w,j dqg i{5 +w,j = Krzyu/ lq wk suvqf ri rxwvlg prq / wk txdqwlw ri flufxodwlqj sulydw oldelolwlv lvvxg zloo jqudoo e lqgwuplqdw1 Lw lv wkuiru prvw frqyqlqw wr zrun glufwo zlwk wk jrrgv pdunw fodulqj dqg wk qr0duelwudj frqglwlrqv1 Wk su fdslwd vxsso ri dydlodeo jrrgv lq orfdwlrq lv z , +, z1 5 Wk su fdslwd gpdqg ri rxqj eruurzuv lq wklv orfdwlrq dw w lv z 5 +, U > +w, zu > +w,/ zklo wkdw ri eruurzuv lq wk vfrqg sulrg ri oli lv z z 5 +,1 Wk su fdslwd gpdqg iru jrrgv e rxqj oqguv lv 5 5+, zklo wk su fdslwd gpdqg ri plggo0djg oqguv lv U5>+wÃ, U. 5> +w,1 Kqf/ wk jrrgv pdunw foduv lq orfdwlrq dw w l 5 z z 5 5 +, U > +w, z 5 +, 5+, 5+, U 5> +w, +8, iru w = Wklv vlpsolv wr z z 5 U > +w, 5 U 5> +w, = +85,

25 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 56 Vlploduo / wk jrrgv pdunw foduv lq orfdwlrq 5 dw w l +, z +, z 5 U 5>5 +w, 5 U >5 +w, +86, iru w = Lq dgglwlrq/ wk qr0duelwudj frqglwlrqv +<, dqg +83, pxvw rewdlq lq dfk orfdwlrq dw dfk gdw1 Dw w / plggo0djg djqwv krog wk lqlwldo rxwvlg prq vxsso / soxv dq suylrxvo 0 lvvxg flufxodwlqj sulydw oldelolwlv1 Ow P k +w, e wk vwrfn ri rxwvlg prq 8 lq orfdwlrq k dw w +foduo P +w, P 5 +w, P,/ dqg ow { k +, iru k > 5/ gqrw wk lqlwldo vwrfn ri flufxodwlqj sulydw oldelolwlv1 Wkq plggo0djg djqwv lq orfdwlrq dw w krog flufxodwlqj oldelolwlv zlwk d udo ydox P +3, s +, { 5 +, U >5 +3,1 Lw iroorzv wkdw wkjrrgvpdunwfoduvlqorfdwlrqdww 3li 5 z U > +3, P +3, s +3, +, { 5 +, = +87, U >5 +3, Vlploduo / wk jrrgv pdunw foduv lq orfdwlrq 5 dw w 3li +, z 5 U 5>5 +3, P 5 +3, s 5 +3, { +, U 5> +3, = +88, Ku P +3, >P 5 +3, >{ +, > dqg { 5 +, du jlyq lqlwldo frqglwlrqv1 Pruryu/ wk qr0duelwudj frqglwlrqv lpso wkdw U >5 +3, U 5>5 +3, ^s +3, s 5 +3,` +89, dqg U 5> +3, U > +3, ^s 5 +3, s +3,` = +8:, Vxevwlwxwlqj wkv frqglwlrqv lqwr +87, dqg +88, doorzv xv +jqulfdoo, wr gwuplq s +3, dqg s 5 +3, +dqg/ wkuiru/ U >5 +3, dqg U 5> +3,,/ rqf U > +3, dqg U 5>5 +3, du vsflg1 Lw iroorzv wkdw rxu frqrp kdv wzr txdwlrqv frqqfwlqj wk lqlwldo0sulrg logv iu > +3, >U >5 +3, >U 5> +3, >U 5>5 +3,j dqg/ kqf/ wzr lqlwldo gjuv ri iugrp1 Rqf wkv du vsflg txdwlrqv +87, dqg +88,dorqj zlwk wk qr0duelwudj frqgl0 wlrqv iru w gwuplq wk lqlwldo sulf oyov1 Htxdwlrqv +85, dqg +86,/ dorqj zlwk D AÄt ititi? t *M* it Lu Äi Ui? * M?! Lc i^ã*i? *)c?ii LMii_iii_ *M* it Lu?? * *i}i_ }i?i L? Ä R?i? t L?i)

26 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 57 wk qr0duelwudj frqglwlrqv +<,/ wkq gwuplq wk vtxqf iu > +w, >U >5 +w, >U 5> +w, > U 5>5 +w,j w= Dqg wk vtxqf is +w, >s 5 +w,j w fdq e gulyg iurp wk lqlwldo sulf oyov dqg wk uodwlrqv U k>n +w, s k +w, s n +w,1 Sulru wr gvfulelqj txloleuld ri rxu frqrp fkdudfwul}g e vsdwldo vsdudwlrq dqg olplwg frppxqlfdwlrq/ lw zloo e xvixo wr gvfule eul lwv frxqwusduw frqrp zku doo djqwv lqkdelw d frpprq orfdwlrq dw doo gdwv1 Z qrz wxuq rxu dwwqwlrq wr wklv wdvn Wk fqwudol}g frqrp 1 Vxssrv wkdw dw dfk gdw doo djqwv lqkdelw wk vdp orfdwlrq1 Wkq wku lv d frpprq sulf oyo/ s +w,/ dqg d frpprq rq sulrg udw ri uwxuq/ U +w,/ ewzq w dqg w 1 Lq dgglwlrq/ wku lv qr qg iru sulydw flufxodwlqj oldelolwlv1 Wk jrrgv pdunw foduv dw w li z Dw w wk jrrgv pdunw foduv li z U +w, = +8;, U +w, z U +, P s +, = +8<, Wku du wzr srvvleo vwdg vwdw txloleuld1 Rq kdv U +w, iru doo w dqg Ps+w, zu +w, z= Udo edodqfv du srvlwly l Az> +93, dv z kqfiruwk dvvxp1 9 Wk rwku vwdg vwdw lv qrqprqwdu +olp w$ s +w,, dqg kdv U z? 1 Lw lv dv wr yuli iurp txdwlrq +8;, wkdw wk prqwdu vwdg vwdw lv xqvwdeo/ zklo wk qrqprqwdu vwdg vwdw lv dv pswrwlfdoo vwdeo1 Pruryu/ U +, lv d iu lqlwldo frqglwlrq1 Iru doo U +, 5 +z>, wku lv dq txloleulxp zlwk U +w, & z= Foduo wklv lpsolv wkdw s +w, %1 Wku lv/ wkq/ d rq0glpqvlrqdo lqgwuplqdf ri txloleulxp1 Wku lv dovr d xqltx txloleulxp zku wk ydox ri prq lv erxqgg dzd iurp }ur1 S u ULÃtic ESf Ãt T*it Ä c? L_i ul LÃ t_i L?i) L Äi *Ãic Äi Ui? *3i_ iul?l) Ãt Mi R5Ãi*tL??c? B*i<t E b. ti?ti

27 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt Wk gfqwudol}g frqrp 1 Ryuylz1 Z qrz fkdudfwul} txloleuld ri rxu frqrp lq wk suvqf ri vsdwldo vsdudwlrq dqg olplwg frppxqlfdwlrq1 Wr gr vr/ z qrw wkdw txdwlrqv +85,0+86, dqg wk duelwudj frqglwlrqv gvfuleg e txdwlrq +<, fdq e uzulwwq dv wk iroorzlqj g qdplfdo v vwp/ zklfk rewdlqv iru w = U > +w, U 5>5 +w, U >5 +w, 5z 5z U 5> +w, > +9, 5+, z 5+, z U >5 +w, > +95, 5+, zu 5>5 +w, ^ 5+, z U >5 +w,` U 5> +w, > +96, dqg 5zU > +w, U 5> +w, ^ 5z U 5> +w,` U >5 +w, = +97, Dv z kdy qrwg suylrxvo / wku du wzr iu lqlwldo frqglwlrqv1 Z ejlq zlwk dq dqdo vlv ri vwdg vwdw txloleuld1 D prqwdu : vwdg vwdw1 Zkq wk ydoxv U > +w, >U >5 +w, >U 5> +w, > dqg U 5>5 +w, du frqvwdqw/ lw lv dssduqw wkdw U U 55 1 Lwlvdovrdssduqwwkdwvwwlqj U > +w, U 5>5 +w, U 5> +w, U >5 +w, ;w frqvwlwxwv d frqvwdqw vroxwlrq wr wk v vwp +9,0+97,1 Qrwlf wkdw/ lq d prqwdu vwdg vwdw/ doo djqwv idf wk vdp udw ri uwxuq1 Wkxv wk pdujlqdo udwv ri vxevwlwxwlrq ri doo djqwv du txdwg1 Pruryu/ wk doorfdwlrq ri uvrxufv wkdw rewdlqv lq d prqwdu vwdg vwdw ri wk gfqwudol}g frqrp gxsolfdwv wkdw zklfk rewdlqv lq wk vwdg vwdw ri wk fqwudol}g frqrp 1 Lw iroorzv iurp Edodvnr dqg Vkoo +<;, wkdw wklv doorfdwlrq lv Sduwr rswlpdo1 Z wkuiru frqfoxg wkdw/ dw odvw zlwk uvsfw wr vwdg vwdwv/ d frpelqdwlrq ri d jryuqpqw0lvvxg dw fxuuqf dqg flufxodwlqj sulydw oldelolwlv doorzv wk frqrp wr frpsowo ryufrp wk sureopv ri vsdwldo vsdudwlrq dqg olplwg frppxqlfdwlrq1 Dv z kdy vq/ wklv lv qrw wux li rxwvlg prq lv devqw1 Dqg/ dv z zloo vkrz suvqwo / lw lv qrw wux li lqvlg. ) RL?i ) i i? t i_) t i Äii Äi LÃ t_i L?i) Ät TLt i *Ãi i*)ttãi_ *M* it ** Mi UUÃ*?} t i**? Ät t i_) t i

28 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 59 prq lv devqw1 Erwk w sv ri prq du utxlug wr vxssruw wk fqwudol}g uvrxuf do0 orfdwlrq1 Lw lv wkuiru srvvleo wr frqfoxg wkdw/ lq wklv frqrp / wk Kd n sursrvdo iru olplqdwlqj rxwvlg prq suyqwv wk dwwdlqpqw ri dq rswlpdo doorfdwlrq ri uvrxufv1 Sulf oyo gwuplqdwlrq1 Zkq U > +w, s +w, s +w, dqg U 5>5 +w, s 5 +w, s 5 +w, / wk sulf oyo lq dfk orfdwlrq lv frqvwdqw1 Dqg/ zkq U >5 +w, s +w, s 5 +w, / wk sulf oyo lv lgqwlfdo lq dfk orfdwlrq dv zoo1 Z qrz wxuq wr wk sureop ri gwuplqlqj wk vwdg vwdw sulf oyo/ zklfk z gqrw vlpso e s1 Ow { k e wk +frqvwdqw, su fdslwd vwdg vwdw ydox ri flufxodwlqj oldelolw lvvxv lq orfdwlrq k/ ow k e wk +frqvwdqw, su fdslwd vwdg vwdw ydox ri rq0sulrg +qrq0 flufxodwlqj, oldelolwlv lvvxg lq orfdwlrq k/ dqg ow P k e wk +frqvwdqw, txdqwlw ri dw fxuuqf flufxodwlqj lq orfdwlrq k lq d vwdg vwdw1 Wkq/ vlqf doo jurvv udwv ri uwxuq txdo rq/ dqg vlqf rxqj oqguv lq orfdwlrq k pxvw krog +d, doo qz lvvxv ri flufx0 odwlqj oldelolwlv lq orfdwlrq k/ soxv +e, doo flufxodwlqj oldelolwlv lvvxg odvw sulrg lq wk rwku orfdwlrq/ soxv +f, doo rxwvlg prq flufxodwlqj lq orfdwlrq k wkdw lv qrw devrueg e eruurzuv/ lq orfdwlrq z kdy wkdw 5 { +,{ 5 P s +{, +98, +, { 5 P s z { = Vlploduo / lq orfdwlrq 5 z kdy 5 { +,{ 5 P 5 s +,+{ 5 5, +99, { +, { 5 +P P, +, z= s Dgglqj +98, dqg +99, logv s P +9:, z zklfk frlqflgv zlwk wk vwdg vwdw sulf oyo ri wk fqwudol}g frqrp 1 Rxu pdlq0 wdlqg dvvxpswlrq wkdw z? lpsolv wkdw sa31 Glvfrxqwv ru supld rq sulydw _qrwv%1 Lw lv dovr zruwk ri pqwlrq wkdw/ zkq U U 5 U 5 U 55 > wku du qr glvfrxqwv ru supld rq sulydwo 0lvvxg oldelolwlv1

29 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 5: Wklv lv wux erwk zlwk uvsfw wr fxuuqf / dqg zlwk uvsfw wr qrqflufxodwlqj oldelolwlv1 Kqf/ dw odvw zlwk uvsfw wr vwdg vwdwv/ wk lqwurgxfwlrq ri rxwvlg prq olplqdwv dq _odfn ri xqliruplw %ri wk fxuuqf 1 61:1 Orfdo g qdplfv1 Ryuylz1 Z qrz dqdo } orfdo g qdplfv lq d qljkerukrrg ri erwk wk prqwdu dqg wk qrqprqwdu vwdg vwdw1 Wr gr vr/ z frqvwuxfw d olqdu dssur{lpdwlrq dw d vwdg vwdw ri wk g qdplfdo v vwp frqvlvwlqj ri txdwlrqv +9,0+97,= U > +w,u U > +w, U U 5>5 +w,u 55 U 5>5 +w, U 55 M 9 U >5 +w,u 5 : 9 U >5 +w, U 5 : ;, U 5> +w, U 5 U 5> +w, U 5 zku M lv wk Mdfreldq pdwul{ 5 M 9 7 CU>+w., CU>+w, CU5>5+w., CU>+w, CU>5+w., CU>+w, CU5>+w., CU>+w, CU>+w., CU5>5+w, CU5>5+w., CU5>5+w, CU>5+w., CU5>5+w, CU5>+w., CU5>5+w, CU>+w., CU>5+w, CU5>5+w., CU>5+w, CU>5+w., CU>5+w, CU5>+w., CU>5+w, CU>+w., CU5>+w, CU5>5+w., CU5>+w, CU>5+w., CU5>+w, CU5>+w., CU5>+w, 6 : 8 +9<, zlwk doo sduwldo gulydwlyv ydoxdwg dw wk vwdg vwdw lq txvwlrq/ dqg zku ^U >U 55 > U 5 >U 5`3 gqrwv wk yfwru ri vwdg vwdw lqwuvw udwv1 Lq d prqwdu vwdg vwdw U U 55 U 5 U 5 > lq d qrqprqwdu vwdg vwdw wk yfwru ^U >U 55 >U 5 >U 5`3 lv gvfuleg e Sursrvlwlrq 1 Wk opqwv ri wk pdwul{ M du gvfuleg lq Dssqgl{ J1 Wk g qdplfv ri txdwlrq +9;, du jryuqg e wk ljqydoxv ri M1 Z qrz fkdudf0 wul} wkv ljqydoxv dw dfk vwdg vwdw1 Wk prqwdu vwdg vwdw1 Gq wk sro qrpldov K +, dqg S +, e K +, , z +, 5 7 +, z 5 +:3,

30 ib j BAa O,W iw,b A} wbo, jt 5; dqg Wkq z kdy wk iroorzlqj uvxow= S +, +,K+,= +:, Sursrvlwlrq 81 +d, Wk ljqydoxv ri M/ dw wk prqwdu vwdg vwdw/ du wk urrwv ri wk txdwlrq S +, 3= +e, Wk ydox lv dq ljqydox ri M1 Lq dgglwlrq/ M kdv rq ljqydox lq wk lqwuydo +> 3,/ dqg wzr udo ljqydoxv wkdw {fg rq1 Surri1 V Dssqgl{ K1 Sursrvlwlrq 8 vwdeolvkv wkdw wk prqwdu vwdg vwdw srvvvvv d rq0glpqvlrqdo vwdeo pdqlirog/ d wzr0glpqvlrqdo xqvwdeo pdqlirog/ dqg d fqwu pdqlirog1 Eorz z vwdeolvk vwdelolw ri wk prqwdu vwdg vwdw dorqj wk fqwu pdqlirog1 Wkxv/ vlqf wku du wzr iu lqlwldo frqglwlrqv/ wku lv d xqltx g qdplfdo txloleulxp sdwk wkdw dssurdfkv wk prqwdu vwdg vwdw1 Wklv uvxow lv dq dqdorj ri wk xqltxqvv ri dq txloleulxp zku prq dv pswrwlfdoo uwdlqv ydox lq wk fqwudol}g frqrp 1 Qrw wkdw/ lq sduwlfxodu/ wk fr{lvwqf ri sulydw flufxodwlqj oldelolwlv zlwk rxwvlg prq lv qrw d vrxuf ri txloleulxp lqgwuplqdf 1 Dorqj wklv glpqvlrq/ wkq/ txdqwlw wkruwlf fulwlflvpv ri wklv _udo eloov%duudqjpqw du lqfruufw1 Lw lv wux/ krzyu/ wkdw dq sdwkv wkdw dssurdfk wk prqwdu vwdg vwdw pxvw glvsod qgrjqrxvru _{fvv%yrodwlolw 1 Pruryu/ vlqf lv dq ljqydox ri M/wklv yrodwlolw pd gdpsq rqo yu vorzo 1 Wkxv/ d fr{lvwqf ri sulydw dqg jryuqpqwdo oldelolwlvru wk qg wr wudg zlwk erwk nlqgv ri oldelolwlvzloo odg wr xfwxdwlrqv1 Rq wklv glpqvlrq txdqwlw 0wkruwlf fulwlflvp ri wk _udo eloov%grfwulq du mxvwlg1 dqg Wk qrqprqwdu vwdg vwdw1 Gq wk sro qrpldov # +, dqg +, e # +, 6 5 Wkq z rewdlq wk iroorzlqj uvxow1 U U 5 U U 5 +, 5 +U, 7 +:5, 5z 5+, z 7 +, z 5 +, +, # +, = +:6,