Informatika Predavanja 2017/ Brojni sistemi. Informatika Nepozicioni brojni sistemi. Nepozicioni brojni sistemi (2)

Transcription

1 Informatika Matematičke osnove računarske tehnike Brojni sistemi Brojni sistem čini skup simbola i pravila za njihovo zapisivanje, i dele se na: pozicione i nepozicione. Karakteristika nepozicionih brojnih sistema je da vrednost cifre ne zavisi od njene pozicije u broju. Kod pozicionih brojnih sistema vrednost broja zavisi od vrednosti svake cifre i njene pozicije u broju. Nepozicioni brojni sistemi Primer nepozicionog brojnog sistema su Rimski brojevi. Cifre ovog brojnog sistema su: I, V, X, L, C, D i M, čije su vrednosti respektivno: 1, 5, 10, 50, 100, 500 i Nepozicioni brojni sistemi (2) Pravilo: Sve cifre broja se međusobno sabiraju, osim u slučaju kada cifra manja po vrednosti prethodi većoj, tada se ona oduzima od većecifre U Rimskom broju III cifra I ima uvek istu vrednost 1. U Rimskim brojevima IV i VI, cifra I takođe ima vrednost 1. MMXIV = (5 1) = 2014 MMXVI = = 2016 Pozicioni brojni sistemi Vrednost broja zavisi od vrednosti svake cifre i njene pozicije u broju MSD most significant digit 2017 LSD least significant digit Prva cifra je cifra najveće važnosti (težine) Poslednja cifra je najmanje važnosti (težine) Broj različitih cifara koje se mogu javiti u brojnom sistemu zove se osnova brojnog sistema (baza sistema). Dekadni (decimalni) brojni sistem Koristi deset različitih cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 Osnova ovog brojnog sistema je 10 Bilo koji pozitivan prirodan broj X može se zapisati: X= = n broj cifara u broju X q prirodan broj koji predstavlja osnovu brojnog sistema a i cifre broja X koje moraju biti iz skupa cifara brojnog sistema Primer za dekadni brojni sistem: 2014=2* * * *10 0 = =2* * * *10 0 = Predavanja 2017/

2 Koji brojni sistem koristi računar? Aritmetika koju koristi računar razlikuje se od aritmetike koju koriste ljudi Računari koriste binarni brojni sistem, umesto dekadnog sistema koji mi primenjujemo svakog dana U informatici se koriste još oktalni i heksadecimalni brojni sistemi Svi ovi brojni sistemi su pozicioni brojni sistemi. Koji brojni sistem koristi računar? Binarni brojni sistem: q = 2, a i ϵ{0,1} Oktalni brojni sistem: q = 8, a i ϵ{0,1,2,3,4,5,6,7} Dekadni brojni sistem: q = 10, a i ϵ{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Heksadecimalni brojni sistem: q = 16, a i ϵ{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a, B, C, D, E, F} Konverzija iz dekadnog u binarni brojni sistem X q d r 2014 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = (10) = (2) Konverzija iz binarnog u dekadni brojni sistem Koristimo formulu sa slajda 6 X= Vrednost svake cifre određujemo na osnovu njene pozicije, a zatim saberemo sve dobijene pojedinačne vrednosti. Primeri: (2) = =1* *2 9 +1*2 8 +1*2 7 +1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = = = 2014 (10) (2) = =1* *2 9 +1*2 8 +1*2 7 +1*2 6 +1*2 5 +0*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +0*2 0 = = = 2016 (10) Konverzija iz dekadnog u oktalni brojni sistem X q d r 2014 : 8 = : 8 = : 8 = : 8 = (10) =3736 (8) Isto kao u slučaju konverzije ubinarni, samo se umesto osnove 2, koristi osnova oktalnog brojnog sistema 8 Konverzija iz oktalnog u dekadni brojni sistem Koristimo formulu sa slajda 6 X= Vrednost svake cifre određujemo na osnovu njene pozicije, a zatim saberemo sve dobijene pojedinačne vrednosti. Primeri: 3736 (8) = 3*8 3 +7*8 2 +3*8 1 +6*8 0 =3*512+7*64+3*8+6*1= = = 2014 (10) 3740 (8) = 3*8 3 +7*8 2 +4*8 1 +0*8 0 =3*512+7*64+4*8+0*1= = = 2016 (10) Predavanja 2017/

3 Heksadecimalni brojni sistem Nedostatak binarnog predstavljanja brojeva je predugačak zapis broja Rešenje: heksadecimalni sistem predstavljanja brojeva Iako se brojevi (naprednim) korisnicima predstavljaju heksadecimalno, računar i dalje čuva i obrađuje podatke u binarnom brojnom sistemu. Heksadecimalni brojni sistem Heksadecimalni brojni sistem je izabran kao adekvatan prikaz vrednosti brojeva korisnicima zbog: značajno kraćeg zapisa u odnosu na binarni i jednostavne konverzije brojeva između njega i binarnog brojnog sistema. Heksadecimalni sistem ima osnovu 16, a njegovih 16 cifara predstavlja se dekadnim ciframa od 0 do 9 i slovima engleskog alfabeta od A do F: A(16) = 10(10) D(16) = 13(10) B(16) = 11(10) E(16) = 14(10) C(16) = 12(10) F(16) = 15(10) Konverzija dekadni/heksadecimalni brojni sistem Primer konverzije broja 2014 iz dekadnog u heksadecimalni brojni sistem: X q d r 2014 : 16 = (E) 125 : 16 = (D) 7 : 16 = (7) 2014 (10) =7DE (16) Primer konverzije iz heksadecimalnog brojnog sistema u dekadni: 7DE (16) =7* * *16 0 = 7*256+13*16+14*1= = =2014 (10) 7E0 (16) = 7* * *16 0 = 7*256+14*16+0*1 = = =2016 (10) Konverzija iz oktalnog i heksadecimalnog b. s. u binarni Brojni sistemi kod kojih je osnova jednog, stepen osnove drugog, konverzija je mnogo jednostavnija heksadecimalni i binarni brojni sistem 16 = 2 4 oktalni i binarni 8=2 3 Broj se iz heksadecimalnog sistema prevodi u broj u binarnom brojnom sistemu zamenom svake heksadecimalne cifre njenom binarnom vrednošću zapisanom sa 4 cifre, odnosno sa 3 cifre u slučaju konverzije iz oktalnog brojnog sistema. Konverzija iz oktalnog i heksadecimalnog b. s. u binarni Primer konverzije broja 2014 iz heksadecimalnog u binarni brojni sistem: 2014 (10) =7DE (16) = (2) 7 (16) = 0111 (2) D (16) = 1101 (2) E (16) = 1110 (2) Primer konverzije broja 2014 iz oktalnog u binarni brojni sistem: 2014 (10) = 3736 (8) = (2) 3 (8) = 011 (2) 7 (8) = 111 (2) 6 (8) = 110 (2) Konverzija iz binarnog u oktalni i heksadesimalni sistem Radi se obrnutim postupkom: Grupišu se 3, odnosno 4 cifre binarnog broja, počev od cifre najmanje težine Vrednost svake grupe prevodi u odgovarajuću cifru odredišnog brojnog sistema Primer konverzije broja 2016 iz binarnog u oktalni brojni sistem: (2) =3740 (16) 011 (2) = 3 (8) 111 (2) = 7 (8) 100 (2) = 4 (8) 000 (2) = 0 (8) Primer konverzije broja 2016 iz binarnog u heksadecimalni brojni sistem: (2) =7E0 (16) 0111 (2) = 7 (16) 1110 (2) = E (16) 0000 (2) = 0 (16) Predavanja 2017/

4 Osnovne računske operacije u pozicionim sistemima Osnovne računske operacije se u svim pozicionim brojnim sistemima izvode na isti način. Sabiranje: Ukoliko je zbir odgovarajućih cifara veći od najveće moguće vrednosti cifre tog brojnog sistema, narednu cifru po važnosti uvećavamo za vrednost koju prenosimo. U binarnom sistemu, moguće cifre su 0 i 1. Kada zbir dve cifre bude 2, prenosi se vrednost 1 u narednu cifru po važnosti Sabiranje prenos (2) (2) (2) Oduzimanje Oduzimanje binarnih brojeva radi se po istim pravilima kao i u dekadnom sistemu, s tim što se mora uzeti u obzir da se radi u brojnom sistemu sa osnovom pozajmica (2) (2) (2) Množenje Množenje binarnih brojeva radi se po istim pravilima kao i u dekadnom sistemu, s tim što se mora uzeti u obzir da se radi u brojnom sistemu sa osnovom * 10 = (2) *1010 (2) = Deljenje 2014 : 19 = (2) : (2) = (2) * 0 Informatika Predstavljanje podataka u računaru (bit, bajt i ) Predavanja 2017/

5 Podaci u računaru Svi podaci koji se čuvaju ili obrađuju u računaru su u binarnom obliku, tj. digitalnom obliku. Osim brojeva, to obuhvata i slova, reči, programe i njihove komande i instrukcije. Sigurno ste se do sada sreli sa sledećim terminima: HDD u računaru ima 1 TB (terabajt) RAM ima 4 GB (gigabajta) Brzina internet konekcije je 10 Mbps (megabita u sekundi) Datoteka je veličine 500 KB (kilobajta) Bit je jedna binarna cifra Ime je nastalo kao akronim izveden iz: binary digit Bit je najmanja jedinica količine podataka, koja može imati samo vrednost 0 ili 1. Bajt (Byte) je osmocifarski binarni broj Ime je nastalo kao akronim izveden iz binary digiteight. Bajt je osnovna (najmanja adresibilna) jedinica za količinu informacija. Bajt može imati 2 8 =256 mogućih različitih vrednosti. Nibl (nibble) je četvorocifreni binarni broj, odnosno pola bajta Ova jedinica se ne koristi u svakodnevnoj upotrebi, ali je značajna kao broj bita koji su potrebni za skladištenje jedne heksadecimalne cifre. Nibl može imati 2 4 =16 mogućih različitih vrednosti. Šta je veće od bita, nibla i bajta? Odgovor je: kilobajt, megabajt, gigabajt, terabajt itd. Međunarodni sistem jedinica (Système International d Unités), skraćeno SI, je najrasprostranjeniji sistem jedinica i u njemu su, pored jedinica, definisani prefiksi koji se dodaju kako bi se napravio umnožak originalne jedinice. Ovi prefiksi su preuzeti iz metričkog sistema. Predavanja 2017/

6 10 n Prefiks Simbol Kratka skala Duga skala Dekadni ekvivalent jota Y septilion kvadrilion zeta Z sekstilion trilijarda eksa E kvintilion trilion peta P kvadrilion bilijarda tera T trilion bilion giga G bilion milijarda mega M milion kilo k hiljadu hekto h sto deka da deset jedan 1 Ovi prefiksi su primenjeni i u računarstvu i informatici na jedinicama bit i bajt, iako one nisu deo SI sistema. U SI, slovo B je dodeljeno jedinici za odnos snage dva signala bel. SI je zanovan na dekadnom brojnom sistemu, dok su bit i bajt jedinice binarnog brojnog sistema i koriste različitu osnovu. 1km=10 3 m=1000m 1KB=2 10 B=1024B Kupili ste računar sa HDD od 500GB, a kada ste počeli da ga koristite videli ste on ima samo nepunih 466GB, gde je nestalo 34GB, 7% prostora? U binarnom sistemu 1KB nije 1000B, već 1024B. Zbog upotrebe istih prefiksa, koji imaju različito značenje, dolazi do zabune (obmane). Razlika prilikom različitog tumačenja prefiksa Prefiks Binarno/dekadno Dekadno/Binarno kilo 1,024 2,40% 0,977 2,34% mega 1,049 4,90% 0,954 4,63% giga 1,074 7,40% 0,931 6,87% tera 1,100 10,00% 0,910 9,05% peta 1,126 12,60% 0,888 11,18% exa 1,153 15,30% 0,867 13,26% zetta 1,181 18,10% 0,847 15,30% yotta 1,209 20,90% 0,827 17,28% Zato HDD od 500GB ima samo 466GB. Rešenje problema prefiksa Godinama su predlagana su razna rešenja i nove oznake, ali one nikada nisu zaživele Jedan predlog je neformalno zaživeo 70 ih godina u binarnom sistemu kilo se označava velikim slovom K, umesto malim kako je definisano u SI (K je oznaka za kelvin u SI) Isti princip se nije mogao primeniti na veće prefiksem,g,t itd. Tada se veći prefiksi mega, giga, tera nisu koristili i te veličine su još uvek bile nezamislive Predavanja 2017/

7 Rešenje problema prefiksa Devedesetih godina prošlog veka, IEEE (engl. The Institute of Electrical and Electronic Engineers), ISO (engl. International Organization for Standardization) i IEC (engl. International Electrotechnical Commission) počele su sa rešavanjem ovog problema Predloženi su novi binarni prefiksi u IEC standardizaciji: kibi, mebi, gibi i tebi, sa odgovarajućom notacijom: Ki, Mi, Gi i Ti, respektivno godine ova standardizacija je usaglašena među organizacijama pod oznakom IEC :2008. kilo binary kibi mega binary mebi Rešenje problema prefiksa IEC prefiks Različiti prikazi Zamena za SI prefiks Naziv Simbol Osnova 2 Osnova 1024 Osnova 10 Naziv Simbol kibi Ki , kilo k, K mebi Mi , mega M gibi Gi , giga G tebi Ti , tera T pebi Pi , peta exbi Ei , exa zebi Zi , zetta yobi Yi , yotta P E Z Y Binarni prefiksi Standard za binarnu notaciju postoji, ali nikada nije zaživeo U praksi se i dalje koriste, pored preporuka i zvaničnih zahteva da se primenjuje novi standard Uvažavajući takvu situaciju, vodeće međunarodne organizacije su odustale od forsiranja ovog standarda Najpoznatiji način za binarno predstavljanje znakova u računaru (American Standard Code for Information Interchange) znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 7 bitnog binarnog broja (128 različitih vrednosti) Svako slovo abecede, svaka cifra ili specijalni karakter predstavljeni su po jednim 7 bitnim binarnim brojem (kombinacijom cifara 0 i 1). Tako se formira tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kôdova datih u vidu 7 bitnih binarnih brojeva. Bin. Okt. Dek. Heks. Znak A B C D E F G H I A J B K C L D M E N F O P Q R S Prva 32 binarna kôda koriste se za razne komandne instrukcije Sledećih 95 binarnih kôdova služe za zapis (vidljivih) znakova slova, brojeva i simbola Poslednja binarna vrednost je komanda za brisanje DEL Predavanja 2017/

8 Brojevi zapisani po standardu, nemaju istu vrednost kao kada su zapisani u binarnom brojnom sistemu. Npr. kôd za broj 7 je , što kada se pretvori u dekadnu vrednost iznosi 55. Bin. Okt. Dek. Heks. Znak Nedostaci: mali broj znakova se može predstaviti pomoću 7 bitnog standarda Podrška samo za engleski alfabet Neiskorišćen 1 bit računari koriste bajt, kao najmanju adresibilnu količinu informacija Prošireni Prošireni Neiskorišćeni bit iskoristili proizvođači računara kako bi dodali još znakova Prvih 128 kôdova odgovaraju standardnom, a u narednih 128 dodaju se slova drugih alfabeta (npr. Š, Ć, Č, Đ...) ili dodatni simboli. Proširenja ovog standarda, nazivaju se Prošireni (Extended ), ali ona nisu formalno standardizovana! Različite verzije proširenog su proizvođači opreme i operativnih sistema označavali kao Kodne strane Prilagođene određenim zemljama i njihovim slovima latinica kodna strana 852, ISO/IEC :1999, Windows 1250 ćirilica - ISO/IEC :1999, Windows je novi poboljšani standard za binarno predstavljanje znakova u računaru UTF (Unicode Transformation Format) rešava problem velikog broja različitih kodnih strana, koje su limitirane sa veličinom i brojem simbola i nefunkcionalne su u multijezičnim okruženjima. Godinama su razvijene različite verzije UTF: o UTF 1 prethodnik verzije UTF 8, nije više deo standarda o UTF 7 7 bitna verzija, ranije korišćena u e mail komunikaciji, nije deo standarda o UTF 8 8 bitna verzija koja je kompatibilna sa o UTF bitna verzija sa varijabilnom dužinom kodne reči o UTF bitna verzija sa fiksnom dužinom kodne reči Predavanja 2017/

9 je postao dominantan način za obradu i čuvanje podataka Danas se u najvećoj meri koristi u novim operativnim sistemima Microsoft je počevši od verzije Windows NT, a zatim i u svim sledećim verzijama: Windows 2000, Windows XP, Windows Vista i Windows 7, implementirao UTF 16 kao osnovni način za kodiranje znakova. Java i.net okruženje, Mac OS X takođekoristeutf 16 za internu reprezentaciju znakova. UTF 8 je postao osnovni način kodiranja podataka pri skladištenju u operativnim sistemima baziranim na Unix platformi, obzirom da je sa njime lako zamenjen prošireni koji se ranije koristio. UTF 8 je najčešće primenjen način kodiranja na internetu u HTML stranama. Pitanja? Hvala na pažnji! Predavanja 2017/