Metodo di Holt-Winters M. Romito 7 dicembre 2016

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1 Metodo di Holt-Winters M. Romito 7 dicembre 2016 Smorzamento esponenziale (SE) e smorzamento esponenziale con trend (SET) auto.data<-read.csv("scheda11.csv",header=false) auto=ts(auto.data,frequency=12,start=c(1995,1)) moto.data<-read.csv("scheda12.csv",header=false) moto=ts(moto.data,frequency=12,start=c(2000,1)) Smorzamento esponenziale Proviamo il metodo di smorzamento esponenziale su una serie con forte trend creata artificiosamente. st=ts((1:100)+10*rnorm(100),frequency=10) se=holtwinters(st,beta=f,gamma=f) se ## Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component. ## ## Call: ## HoltWinters(x = st, beta = F, gamma = F) ## ## Smoothing parameters: ## alpha: ## beta : FALSE ## gamma: FALSE ## ## Coefficients: ## [,1] ## a plot(se) 1

2 predict(se,1) ## Series: ## Start = c(11, 1) ## End = c(11, 1) ## Frequency = 10 ## fit ## [1,] Passiamo a esaminare la serie esempio (esportazione accessori auto), che contiene dati con trend dominante. auto.se=holtwinters(auto,beta=f,gamma=f) auto.se ## Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component. ## ## Call: ## HoltWinters(x = auto, beta = F, gamma = F) ## ## Smoothing parameters: ## alpha: ## beta : FALSE ## gamma: FALSE ## ## Coefficients: ## [,1] ## a

3 plot(auto.se) Proviamo a variare il valore del parametro α. plot(auto.se);points(holtwinters(auto,alpha=0.2,beta=f,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") 3

4 plot(auto.se);points(holtwinters(auto,alpha=0.4,beta=f,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") plot(auto.se);points(holtwinters(auto,alpha=0.6,beta=f,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") 4

5 plot(auto.se);points(holtwinters(auto,alpha=0.8,beta=f,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") plot(auto.se);points(holtwinters(auto,alpha=1,beta=f,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") 5

6 plot(auto.se);points(holtwinters(auto,alpha=0.01,beta=f,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") plot(auto.se);points(holtwinters(auto,alpha=0.05,beta=f,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") 6

7 plot(auto.se);points(holtwinters(auto,alpha=0.10,beta=f,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") plot(auto.se);points(holtwinters(auto,alpha=0.15,beta=f,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") Predizione con smorzamento esponenziale. 7

8 plot(auto.se,predict(auto.se,12)) predict(auto.se,1) ## Jan ## Smorzamento esponenziale con trend auto.set=holtwinters(auto,gamma=f) auto.set ## Holt-Winters exponential smoothing with trend and without seasonal component. ## ## Call: ## HoltWinters(x = auto, gamma = F) ## ## Smoothing parameters: ## alpha: ## beta : ## gamma: FALSE ## ## Coefficients: ## [,1] ## a ## b plot(auto.set) 8

9 Proviamo a variare direttamente i valori dei parametri. Prima alpha, plot(auto.set);points(holtwinters(auto,alpha=0.1,beta=0.3,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") 9

10 plot(auto.set);points(holtwinters(auto,alpha=0.2,beta=0.3,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") plot(auto.set);points(holtwinters(auto,alpha=0.3,beta=0.3,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") 10

11 plot(auto.set);points(holtwinters(auto,alpha=0.4,beta=0.3,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") plot(auto.set);points(holtwinters(auto,alpha=0.5,beta=0.3,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") poi β, 11

12 plot(auto.set);points(holtwinters(auto,alpha=0.3,beta=0.1,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") plot(auto.set);points(holtwinters(auto,alpha=0.3,beta=0.2,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") 12

13 plot(auto.set);points(holtwinters(auto,alpha=0.3,beta=0.3,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") plot(auto.set);points(holtwinters(auto,alpha=0.3,beta=0.4,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") 13

14 plot(auto.set);points(holtwinters(auto,alpha=0.3,beta=0.5,gamma=f)$fitted,col="blue",type="l") Riaggiustiamo la condizione iniziale. Ricordiamo che l.start è la intercetta iniziale, e b.start è la pendenza iniziale. plot(holtwinters(auto,gamma=f,l.start=auto[1,1])) 14

15 plot(holtwinters(auto,gamma=f,l.start=auto[1,1],b.start=0)) plot(holtwinters(auto,gamma=f,l.start=auto[2,1],b.start=100)) 15

16 plot(holtwinters(auto,gamma=f,l.start=6500,b.start=2)) Calcoliamo la predizione 16

17 plot(auto.set,predict(auto.set,12)) predict(auto.set,3) ## Jan Feb Mar ## Previsione con SE, SET Quale metodo prevede meglio? Confrontiamo le predizioni dei metodi di smorzamento esponenziale senza/con trend. auto.end=window(auto,2007) auto.se.pt=predict(auto.se,6) auto.set.pt=predict(auto.set,6) plot(c(auto.end,auto.se.pt),col="red") points(c(auto.end,auto.set.pt),type="b",col="blue") 17

18 c(auto.end, auto.se.pt) Index Possiamo applicare i due metodi di smorzamento al trend ottenuto attraverso la decomposizione della serie. auto.d=decompose(auto) auto.se.t=holtwinters(na.exclude(auto.d$trend),beta=f,gamma=f) auto.set.t=holtwinters(na.exclude(auto.d$trend),gamma=f) plot(auto.se.t)

19 plot(auto.set.t) Esercizio: migliorare SET variando α, β a mano Confrontiamo le previsioni. auto.d.end=na.exclude(auto.d$trend)[140:156] pt.se.t=predict(auto.se.t,6) pt.set.t=predict(auto.set.t,6) plot(c(auto.d.end,pt.se.t),type="b",col="red") points(c(auto.d.end,pt.set.t),type="b",col="blue") points(auto.d.end,type="b") 19

20 c(auto.d.end, pt.se.t) Index Serie stagionali con SE, SET Passiamo ad esaminare serie con carattere stagionale. Con SE. st=ts(sin(1:100)+0.2*rnorm(100),frequency=10) se=holtwinters(st,beta=f,gamma=f) plot(se)

21 predict(se,1) ## Series: ## Start = c(11, 1) ## End = c(11, 1) ## Frequency = 10 ## fit ## [1,] sin(101) ## [1] Con SET. set=holtwinters(st,gamma=f) plot(set) predict(set,1) ## Series: ## Start = c(11, 1) ## End = c(11, 1) ## Frequency = 10 ## fit ## [1,] sin(101) ## [1] Esercizio: esempio artificioso con trend e stagionalità 21

22 Esaminiamo la serie delle esportazioni moto (serie con carattere stagionale) Sia SE che SET sono fedeli alla serie senza catturare il trend. moto.se=holtwinters(moto,beta=f,gamma=f) plot(moto.se) moto.set=holtwinters(moto,gamma=f) plot(moto.set) 22

23 Per catturare il trend, proviamo ad aggiustare la condizione iniziale. plot(holtwinters(moto,gamma=f,l.start=moto[1,1]))

24 plot(holtwinters(moto,gamma=f,l.start=moto[2,1])) plot(holtwinters(moto,gamma=f,b.start=-51))

25 plot(holtwinters(moto,gamma=f,b.start=-4,l.start=120)) Esercizio: trovare parametri α, β più opportuni per catturare il trend. 25