NIEKTORÉ MOŽNOSTI VYUŽITIA INFORMAČNÝCH TECHNOLÓGIÍ NA PODPORU VYUČOVANIA MATEMATIKY

Transcription

1 28 IKT vo vyučovaní matematiky NIEKTORÉ OŽNOSTI VYUŽITIA INFORAČNÝCH TECHNOLÓGIÍ NA PODPORU VYUČOVANIA ATEATIKY Stanislav Lukáč Prírodovedecká fakulta UPJŠ v Košiciach Anotácia: Dominantné postavenie moderných informačných technológií v súčasnej spoločnosti podmieňuje aj rozvoj informatizácie vzdelávania. Prostredníctvom projektu Infovek získavajú učitelia možnosť pripojenia sa k celosvetovým informačným sieťam poskytujúcim obrovské zdroje informácií. Súčasťou edukačných balíkov sú rôzne druhy programových systémov, ktoré môžu učitelia matematiky využiť pre podporu výučby. Charakteristika a niektoré možnosti využitia informačných technológií sú v článku analyzované pre jednotlivé etapy vyučovacieho procesu. Spôsoby začleňovania rôznych programových systémov do výučby sú konkretizované na riešení vybraných matematických úloh. Kľúčové slová: V súčasnej dobe sme svedkami prudkého rozmachu informačných technológií (IT), ktoré rozhodujúcim spôsobom ovplyvňujú takmer všetky oblasti ľudskej činnosti. Aj v školskej praxi sa postupne upevňuje a rozvíja nezastupiteľná pozícia nových IT. Okrem veľkých možností nových technológií pri vedení bežnej agendy a riadení školy sa informatizácia vzdelávania vzťahuje najmä na modernizáciu tradičnej koncepcie vyučovania. Prepojenie počítačov do celosvetových počítačových sietí spôsobilo revolúciu v získavaní a výmene informácií. Pre učiteľov, ktorí vedia využívať základné služby internetu a vedia sa orientovať v zložitej spleti informácií poskytovaných touto počítačovou sieťou, sa internet stáva nevyčerpateľným zdrojom aktuálnych informácií z odboru, metodických materiálov, námetov a inšpirácie pre skvalitnenie procesu výučby. Získané informácie môžu učitelia využiť v etape plánovania a prípravy vyučovania, pričom na ich spracovanie sa znova ponúkajú najmä IT združené v kancelárskych programových balíkoch. Ďalšie typy programových systémov ponúkajú rozsiahle možnosti pre riešenie matematických problémov a ich vhodné využitie vo vyučovaní matematiky môže uľahčiť a zefektívniť proces výučby. Z uvedených faktov vyplýva, že učitelia majú k dispozícii širokú paletu moderných, pre školu stále dostupnejších technologických nástrojov. Napriek tomu ich prínos pre skvalitnenie vzdelávacieho procesu neprebieha automaticky, ale je potrebné hľadať cesty, ako zmysluplne a efektívne začleniť IT pre podporu vyučovacieho procesu (CAL computer assisted learning). Úspešnosť procesu integrácie IT do matematického vzdelávania je podmienená viacerými faktormi. Jednou zo základných požiadaviek je dostatok a prístupnosť programových systémov využiteľných pre vyučovanie matematiky. Ďalším dôležitým predpokladom je zvládnutie moderných technologických nástrojov zo strany učiteľov a rozvíjanie ich hodnotiacich schopností kedy a ako využiť tieto nástroje vo výučbe. Programové systémy využiteľné v matematickom vzdelávaní možno rozdeliť do troch základných skupín: vzdelávacie programy, ktoré boli vyvinuté pre výučbu matematiky (napr. program Cabri geometry, multimediálne výučbové programy: Rozprávková matematika, Animovaná matematika, a pod.) matematické programové systémy (napr. Equation Grapher, Derive a pod.) štandardné aplikačné programy (napr. tabuľkový kalkulátor S Excel) Aj keď posledné dva typy programov nemožno považovať za didaktické programy, ponúkajú vyspelé prostriedky pre podporu vyučovania matematiky a ich vhodné a zmysluplné

2 IKT vo vyučovaní matematiky 29 využívanie môže prispieť k naplňovaniu vzdelávacích cieľov. Nové IT možno úspešne využiť vo všetkých etapách vyučovacieho procesu. V ďalšej časti sme vybrali niekoľko matematických úloh, na riešení ktorých sme sa pokúsili ilustrovať možnosti a spôsoby využitia vybraných programových systémov. otivácia Dôležitou súčasťou vzdelávacích cieľov vyučovania matematiky je prebudenie záujmu žiakov a budovanie ich kladného vzťahu k matematike a k poznaniu. IT môžu byť jedným z prostriedkov, ktoré môžu zohrať v tejto oblasti významnú úlohu. Tento aspekt sa zreteľne prejavuje v kvalitných multimediálnych výučbových programoch, tvorcovia ktorých sa snažia o vytvorenie pútavého a podnetného učebného prostredia obohateného o prvky zábavy a súťaživosti (edutainment software). Ďalším zdrojom motivácie môžu byť príbehy, matematické problémy, alebo aj nesprávne hypotézy z histórie matematiky, ktoré môžu vo vyučovacom procese navodiť skúmavý postoj a pracovné zanietenie žiakov. Jedným z takýchto príkladov môže byť D Alembertov omyl, na ilustráciu ktorého využijeme program S Excel. D Alembert sa domnieval, že pri hode dvoma mincami predstavuje výberový priestor množina výsledkov {ČČ, ČZ, ZZ}(Ččíslo, Z-znak), a preto pravdepodobnosť javu, že padne aspoň raz znak, je 2/3. Obrázok 1 Na prvom obrázku je zobrazená časť tabuľky, v ktorej je náhodne vygenerovaných 300 hodov dvoma mincami na základe vzorca: =IF(RAND()<0,5; c ; z ). Po vyhodnotení jednotlivých hodov je vypočítaná relatívna početnosť získaných výsledkov hodov. Po stlačení klávesu F9 počítač vygeneruje nových 300 hodov. Aj po viacnásobnom generovaní hodov mincí sa možno presvedčiť, že výsledok nie je v zhode s predpokladanou hodnotou. Na vysvetlenie tohto zistenia vyrobíme na druhom hárku (obrázok 2) tabuľku s rovnakými prvými troma stĺpcami a vyhodnotíme získané údaje. Obrázok 2 V stĺpci Výsledok budeme rozlišovať hodnoty 0, 1, 2 podľa toho, či padlo dvakrát číslo, znak, alebo obe možnosti. V stĺpci Početnosť určíme pomocou funkcie COUNTIF, koľkokrát nastal každý z popisovaných výsledkov (napr. do bunky G2 zapíšeme vzorec: =COUNTIF($D$2:$D$301;"=0"). Získané výsledky interpretujeme pomocou kruhového diagramu, z ktorého je zrejmé, že jednotlivé výsledky náhodných pokusov nie sú rovnako pravdepodobné, a preto nemožno využiť klasický vzorec na výpočet pravdepodobnosti, alebo je potrebné upraviť výberový priestor. Osvojovanie nových poznatkov ultimediálne technológie prinášajú možnosti na spracovanie a prezentovanie informácií

3 30 IKT vo vyučovaní matematiky pôsobiacich na viaceré zmysly človeka. Interaktívna počítačová grafika a animácie umožňujú vizuálne skúmanie objektov reálneho sveta, čo môže dodať nový rozmer sprístupňovaniu nového učiva. Vizualizácia v matematickom vzdelávaní napomáha rozvoju predstavivosti, umožňuje priblížiť žiakom podstatu niektorých matematických metód a uľahčiť pochopenie vzťahov medzi skúmanými objektmi. Naviac počítače dovoľujú simulovať procesy, ktoré z určitých príčin (napr. nákladnosť, zdĺhavosť) nemožno priamo realizovať vo vyučovacom procese. Príkladom môže byť aj riešenie predchádzajúceho problému. Vhodným prostriedkom pre skúmanie a objavovanie vlastností prvkov geometrických konštrukcií môžu byť dynamické geometrické systémy napr. program Cabri geometry. Na základe interaktívnych zmien voľných prvkov konštrukcie môžu žiaci nachádzať vlastnosti ortocentra alebo ťažiska v trojuholníku, zobrazovať útvary pomocou zhodných zobrazení a vo vytvorených konštrukciách hľadať samodružné body, osi súmernosti, skladať osové súmernosti a pod. Tento spôsob počítačového modelovania umožňuje pochopenie významu pojmov na základe praktických skúseností z práce s dynamickými konštrukciami. Tabuľkové kalkulátory ponúkajú nástroje na pochopenie grafickej interpretácie niektorých numerických metód ako napr. riešenie rovníc, nerovníc, sústav rovníc. V nasledujúcom príklade využijeme S Excel na prezentáciu geometrického významu derivácie funkcie. Zadaná funkcia má tvar y = x 2 2x + 2. V tabuľke na obrázku 3 možno meniť hodnoty x 0 a h. V bunke E2 je približný výpočet derivácie funkcie v bode x 0 ((f(x 0 +h)- f(x 0 ))/h). Pre malé hodnoty h sa vypočítaná hodnota derivácie funkcie blíži k presnej hodnote a priamka je takmer dotyčnicou grafu funkcie v bode x 0. Na ďalšom hárku (obrázok 4) môžeme využiť približný výpočet derivácie na hľadanie grafu derivácie funkcie. Obrázok 4 Zvolili sme funkciu f: y = sin(x) a na výpočet jej hodnôt bol využitý príkaz Tabuľka. Žiaci môžu takto samostatne hľadať základné pravidlá pre derivovanie funkcií. Pre kvalitné a trvácne osvojenie poznatkov je potrebná bezprostredná spätná väzba a precvičovanie. Práve táto oblasť je dobre rozpracovaná vo výučbových programoch alebo jednoduchších precvičovacích programoch prístupných na Internete. Vysoká miera interaktivity učebných systémov umožňuje individualizovať a priebežne hodnotiť proces učenia. Na Internete možno nájsť aj on-line prístupné interaktívne testy. Pekným príkladom sú stránky vytvorené ako súčasť projektu aths online realizovaného na Univerzite vo Viedni ( Obrázok 3 Prehlbovanie poznatkov Osvojené poznatky by sa mali žiaci naučiť využívať pri riešení rôznych druhov problémov. Podľa povahy problému možno v jednotlivých etapách riešenia problému využiť niektoré z vyššie uvedených programov. Jedným z programov, ktorý je vhodný pre riešenie úloh na vyšetrovanie množín všetkých bodov s danou vlastnosťou, je Cabri geometry.

4 IKT vo vyučovaní matematiky 31 Ako uvádza kolektív autorov v článku [4], žiaci môžu pomocou dynamických konštrukcií ľahšie formulovať hypotézy o skúmaných množinách a vykonať tak úvodnú etapu riešenia problému, na ktorej by žiaci s menšou geometrickou predstavivosťou mohli stroskotať. Postupné riešenie problému pomocou programu Cabri Geometry budeme ilustrovať na inom type úlohy z planimetrie. Nájdite v trojuholníku súvis medzi pomerom úsekov, na ktoré delí os vnútorného uhla trojuholníka protiľahlú stranu a pomerom zvyšných strán. Zostrojíme trojuholník ABC a os vnútorného uhla ACB. Odmeriame dĺžky strán a úsekov a pomocou kalkulačky vypočítame pomer úsekov a pomer priľahlých strán. Konštrukcia a výpočty sú uvedené na obrázku 5. a z faktu, že trojuholník BCD je rovnoramenný s veľkosťou uhla pri základni rovnajúcej sa polovičnej veľkosti vnútorného uhla trojuholníka ABC pri vrchole C, vyplýva, že pomer dĺžky úsečky AP ku PB je rovný pomeru strán b ku a. V ďalšom príklade využijeme pre riešenie problému matematický programový systém Derive, ktorý patrí medzi programy typu CAS (computer algebra system) a jeho hlavné prednosti možno zhrnúť do troch bodov: numerické a algebraické výpočty, symbolické manipulácie a grafická reprezentácia údajov. Jeho možnosti pre riešenie rovníc budeme ilustrovať na nasledujúcej úlohe. Žiak mal riešiť v množine reálnych čísel rovnicu: 7 x x x 2 = 23 7( x + 1) Odpísal ju však s chybami. V čitateli na ľavej strane napísal chybne druhý člen a v menovateli na pravej strane napísal znamienko mínus. Napriek tomu pri správnom riešení chybne odpísanej rovnice získal riešenie zadanej rovnice. Akú riešil rovnicu? Na obrázku 6 je zobrazená časť pracovnej plochy so vstupnými a výstupnými údajmi. Obrázok 5 Po overení výsledkov pre viaceré trojuholníky pristúpime k dôkazu hypotézy. Dôkaz môže byť založený na podobnosti trojuholníkov, a preto ešte pred ním využijeme takúto úvahu. Ak platí zistené tvrdenie, potom ak zostrojíme bod K na strane b vo vzdialenosti od bodu C rovnej vzdialenosti bodov A, P a bod L na strane a vo vzdialenosti od bodu C rovnej vzdialenosti bodov P, B, tak priamka KL musí byť rovnobežná s priamkou AB. Po vykonaní tejto konštrukcie sme vykonali test na rovnobežnosť spomínaných priamok. Jeho výsledok je zobrazený na obrázku. Pre korektný dôkaz vytvoríme pomocnú konštrukciu doplnením priamky BD rovnobežnej s osou o a priamky ED rovnobežnej s priamkou AB. Z podobnosti trojuholníka APC s trojuholníkom DEC Obrázok 6 Riešenie úlohy sme vykonali v troch krokoch. Najprv sme vyriešili pôvodnú rovnicu. Potom sme vytvorili rovnicu s parametrom upravením pôvodnej rovnice podľa zadania úlohy. Po vyriešení rovnice s parametrom sme zistili, kedy sa vypočítaný výraz rovná riešeniu pôvodnej rovnice. Programy typu CAS prinášajú do matematiky nové moderné technológie. Napriek ich rozsiahlym možnostiam pre kvantitatívne a grafické spracovanie údajov ich nemožno

5 32 IKT vo vyučovaní matematiky považovať za univerzálnu učebnú pomôcku. Učiteľ musí vo vyučovaní matematiky zvážiť spôsoby ich využívania, aby nedošlo k oslabeniu tradičných matematických zručností. Na hodinách zameraných napríklad na zvládnutie konkrétnych druhov výpočtov a riešenia určitých typov rovníc by sa mali programy tohto typu využívať len na grafickú reprezentáciu údajov prípadne na overenie výsledkov a odstraňovanie chýb vyplývajúcich z nepozornosti žiakov. Pri problémoch, riešenie ktorých vyžaduje vytvorenie matematického modelu a rôzne druhy výpočtov zvládnutých na predchádzajúcich hodinách, by mohol tento program v niektorých prípadoch zefektívniť výučbu a uľahčiť žiakom vykonávanie jednotvárnych, nudných a zdĺhavých výpočtov a rutinných úprav. Urýchlenie algoritmických častí riešenia problémov by mohlo pomôcť študentom koncentrovať sa na význam a spôsob využitia matematických metód. Na druhej strane musí učiteľ dohliadnuť, aby snahy o prílišné zrýchľovanie tempa riešenia úloh nezúžili výučbu na rutinné zadávanie príkazov bez chápania zmyslu ich aplikovania a podstaty riešeného problému. Dôležitým aspektom využívania IT vo vyučovaní matematiky je možnosť vytvárať na základe vzťahov medzi objektmi modely popisujúce rôzne reálne situácie. Charakteristika závislostí medzi prvkami modelu prispieva k analýze riešeného problému a umožňuje priblíženie k pochopeniu logických väzieb potrebných pre formulovanie úvah vedúcich k vyriešeniu problému. V ďalšej časti sa zameriame na využitie programu S Excel pri tvorbe jednoduchého aritmetického modelu založeného na definovaní väzieb medzi bunkami tabuľky prostredníctvom vzorcov. V publikácii [1] popisuje autor metódu nesprávneho predpokladu, ktorá môže uľahčiť žiakom formulovanie rovníc vedúcich k vyriešeniu problému. Na vysvetlenie spôsobu využitia vyhodnocovania údajov v tabuľke sme zvolili túto úlohu: Hlava ryby predstavuje 1/3 hmotnosti celej ryby. Chvost je o 4 dkg ľahší ako polovica hmotnosti hlavy. Zvyšné telo má hmotnosť 52 dkg. Aká je hmotnosť celej ryby? Na začiatku by sme mohli vytvoriť tabuľku podľa predlohy. Do bunky D2 sme vložili počiatočnú hodnotu (60) a do ostatných buniek vzorce vyjadrujúce vzťahy medzi hmotnosťami častí tela. V bunke C2 sa po vyhodnotení vzorca zobrazí hodnota 34. Keďže telo má hmotnosť 52 dkg, zväčšíme hodnotu bunky D2. Takto môžeme pokračovať, kým sa nám nepodarí nastaviť hodnotu bunky C2 na 52 dkg. A B C D 1 Hlava Chvost Telo Spolu 2 =D2/3 =A2/2-4 =D2-A2-B2 60 V ďalšom kroku opravíme údaje v bunkách C2 a D2 podľa zadania úlohy. Ak zameriame našu pozornosť na vzorce v bunkách A2 a D2, zbadáme, že sme vytvorili tzv. cyklický odkaz. Ak má totiž program vyhodnotiť vzorec v bunke A2, potrebuje hodnotu bunky D2, pre výpočet ktorej zasa treba využiť hodnotu bunky A2. A B C D 1 Hlava Chvost Telo Spolu 2 =D2/3 =A2/ =A2+B2+C2 Pri štandardnom nastavení nedovolí program vypočítať takto definované vzorce. Preto ešte pred zapísaním vzorca do bunky D2 zvolíme príkaz ožnosti v ponuke Nástroje a na karte Výpočet zapneme vykonávanie iteračných výpočtov. Po niekoľkonásobnom zopakovaní iterácií stláčaním klávesu F9 získame v bunke D2 hodnotu 96 predstavujúcu riešenie úlohy. Druhá tabuľka má už veľmi blízko aj k zostaveniu rovnice na riešenie úlohy. Stačí ak označíme bunku D2 obsahujúcu hmotnosť celej ryby ako neznámu x, a prepíšeme vzorec v nej uložený podľa obsahu buniek, na ktoré sa odkazuje. Získame rovnicu: x = x/3 + (x/3)/ Systematizácia a aplikácia poznatkov Pri zakomponovaní vedomostí do vnútorného systému poznatkov žiaka majú významnú úlohu nielen väzby na doterajšie vedomosti

6 IKT vo vyučovaní matematiky 33 a pochopenie podstatných vzťahov medzi novými a už osvojenými poznatkami, ale aj uvedomenie si možností ich využitia v praktickom živote. V jednotlivých etapách riešenia problémov od analýzy až po ich vyriešenie a overenie výsledkov možno vhodne využiť aj nové IT. Ako ilustračný príklad využijeme nasledovnú úlohu na hľadanie extrému. Zo štyroch rovnakých stanových tyčí dĺžky 3 m sa má postaviť stan so štvorcovou podstavou a najväčším uzavretým priestorom. Určte dĺžku strany podstavy a veľkosť stanového priestoru. Veľkosť strany štvorcovej podstavy označíme x. Potom veľkosť objemu v závislosti od x vyjadruje funkcia V: V ( x) = x 9 Na jednotlivé kroky riešenia úlohy využijeme program Derive, pomocou ktorého budeme realizovať nielen výpočty a symbolické manipulácie, ale aj grafickú reprezentáciu údajov na potvrdenie získaných výsledkov. Na obrázku 7 sú zobrazené vedľa seba okno Algebra s výpočtami a okno 2D-plot s grafom funkcie V. Obrázok 7 Podmienkam riešiteľnosti úlohy vyhovuje len druhý stacionárny bod. Pomocou druhej derivácie funkcie V by sme mohli overiť, že funkcia nadobúda v tomto bode maximálnu hodnotu. Názornejšou interpretáciou získaného výsledku je graf funkcie V. Veľkosť stanového priestoru je vypočítaná v poslednom riadku v okne Algebra. Riešenie úlohy možno zovšeobecniť aj v prostredí programu Derive x 2 zavedením parametra a označujúceho dĺžku stanových tyčí. Pre veľkosť strany štvorcovej podstavy a objem stanového priestoru získame tieto výsledky: 2 3a x = 3 4 3a V = 27 Záver Vzhľadom na rozsah článku nebolo možné charakterizovať všetky možnosti začleňovania nových IT do vyučovania matematiky. Nevenovali sme dostatočný priestor preverovaniu a hodnoteniu učebných výsledkov, ktoré predstavujú veľmi dôležitú etapu vyučovacieho procesu, v ktorej môžu zaujímať významné miesto aj moderné IT. V posledných rokoch participuje rozhodujúcou mierou na informatizácii vzdelávania na Slovensku projekt Infovek. Okrem zásobovania škôl počítačmi a ich pripájaniu na Internet sa v projekte venuje veľká pozornosť aj výberu softvérových systémov a ich dodávaniu na školy spolu s metodickými návodmi poskytujúcimi základy ovládania dodávaných programov a námety na ich využívanie vo výučbe. Edukačný balík dodaný na školy koncom roku 2002 bol bohatý práve na IT využiteľné vo vyučovaní matematiky. Okrem multimediálnych výučbových programov pre 1. stupeň ZŠ obsahuje aj programové systémy Cabri geometry, Derive a Equation Grapher, z ktorých prvé dva systémy sme sa snažili predstaviť aj v tomto článku. Zámerom článku bolo poskytnúť učiteľom, ktorí hľadajú cesty, ako prekonať jednotvárnosť, stereotyp vyučovacích hodín a pamäťový typ učenia, námety pre vhodné využitie IT v jednotlivých etapách vyučovacieho procesu. Vyššie uvedené programové systémy nemali mnohí učitelia matematiky počas svojho vysokoškolského štúdia k dispozícii, a preto je dôležité nielen poskytnúť im študijné materiály, ale aj organizovať ďalšie vzdelávanie učiteľov zamerané na využívanie IT vo vzdelávaní. Aj v tejto oblasti má dôležitú úlohu projekt 3

7 34 IKT vo vyučovaní matematiky Infovek, ktorý organizuje rôzne druhy vzdelávania učiteľov. Sme si vedomí skutočnosti, že na mnohých školách zatiaľ nie sú vytvorené podmienky na plnohodnotné využívanie moderných IT vo vyučovaní matematiky. Z dotazníkov vyplnených učiteľmi matematiky na vzdelávacích kurzoch, ktoré sme organizovali v posledných rokoch vyplynulo, že dôležitými podmienkami, ktoré podľa učiteľov podmieňujú pravidelné využívanie počítačov vo výučbe matematiky je väčšia dostupnosť počítačových učební pre výučbu prírodovedných predmetov a znižovanie počtu žiakov v triedach. Aj vzhľadom na tieto aspekty vystupujú do popredia aj moderné metódy a formy vyučovania. IT môžu poskytovať platformu pre zaktivizovanie procesu učenia využívaním kooperatívneho vyučovania, ale najmä projektovej metódy, ktorá v súčasnosti naberá na význame v celosvetovom meradle. Literatúra: [1] Kopka, J.: Hrozny problémů ve školské matematice. Ústí nad Labem, [2] Kutzler, B., Kokol-Voljc, V.: Introduction to Derive 5. OEG Austria, [3] Lukáč, S.: ultimédiá a počítačom podporované učenie sa v matematike. PF UPJŠ Košice, [4] Seibert, J., Slabý, A., Trojovský, P.: Cabri geometrie a formulace hypotéz o množinách bodů dané vlastnosti. FI, roč. 11 (2001/2002), č. 7. [5] Vejsada, F., Talafous, F.: Zbierka úloh z matematiky pre SVŠ a gymnáziá. SPN Bratislava, [6] Vyšín, J., acháček, V.: Vybrané úlohy z matematických olympiád. SPN Bratislava, Adresa autora: RNDr. Stanislav Lukáč, PhD. Ústav matematických vied Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Jesenná Košice slukac@kosice.upjs.sk Stanislav Lukáč (1962) je absolventom PF UPJŠ odbor Učiteľstvo všeobecnovzdelávacích predmetov: matematika, fyzika, informatika. V rokoch vyučoval uvedené predmety na Gymnáziu Opatovská 7 v Košiciach. V roku 1996 nastúpil na miesto odborného asistenta na Katedru matematickej analýzy na PF UPJŠ. V roku 2002 obhájil dizertačnú prácu zameranú na vzdelávanie učiteľov matematiky v oblasti informačných technológií. Ďalšie príklady testov z matematiky na internete Okrem pekne spracovaných testov z matematiky na stránkach projektu aths online možno nájsť interaktívne testy z matematiky aj na nasledujúcich WWW stránkach: ponúka niekoľko testov z rôznych oblastí školskej matematiky (napr. riešenie lineárnych rovníc), ktoré obsahujú úlohy s výberom odpovede. math.about.com/cs/testprep poskytuje materiály pre prípravu testov a ukážky hotových testov z matematiky. Zaujímavé sú štandardizované testy z algebry, ktoré obsahujú pri každej otázke aj pomocné informácie pre riešiteľa. V časti ath Tests and Assessment Samples je niekoľko príkladov na testy rozdelené podľa veku študentov. Radi by sme upozornili aj na niektoré české a slovenské WWW stránky na internete, ktorých súčasťou sú aj testy z matematiky: tvorcovia týchto stránok ponúkajú možnosť plateného prístupu k študijným materiálom z rôznych predmetov. Zaregistrovaní používatelia získajú testovacie programy a možnosť sťahovania aktuálnych testov z ponúkanej databázy. stránky firmy Exam poskytujú okrem iného aj testy z matematiky, ktoré boli súčasťou ONITORu v časti Školstvo ponúka odkaz atematika pre deti a rodičov, ktorý vedie k zbierke riešených úloh z matematiky rozdelených podľa oblastí. Tvorcovia týchto WWW stránok pripravujú aj ukážky testov z prijímacích skúšok na rôzne typy škôl.