Základné aritmeticko-logické operácie

Transcription

1 /6 Základné aritmeticko-logické operácie ritmeticko-logické operácie sa väčšinou vykonávajú v artitmeticko-logickej jednotke LJ rithmetics and Logic Unit LU, ktorá je súčasťou centrálnej procesorovej jednotky Central Process Unit CPU Resp. Central Processing Unit - hlavná vykonávacia jednotka LU Flags

2 Logické operácie Logické operácie sa uskutočňujú nad pamäťovými miestami obyčajne s registrami CPU, pričom sa operácia vykonáva so všetkými dvojicami bitov pamäťových miest. Pamäťové miesta slová môžu byť jedno a viacbajtové. Bity v slovách označujeme indexom, ktorého počiatočná hodnota je, a index narastá sprava doľava. Označovanie bitov v 8-bitovom slove v jednobajtovom slove: Bit b Nibble 4b Byte 8b = B Word B, LSB Least Significant Bit bit s najmenšou váhou MSB Most Significant Bit bit s najväčšou váhou /6

3 Pravidlá základných logických operácií pre jednobitové operandy: negácia NOT B=not ; B= logický súčin ND B B C logický súčet OR C= or B ;C= +B B C neekvivalencia OR- eclusive OR C= and B ;C=. B C= OR B ;C=a b B C Jedno alebo druhe, ale nie všetky naraz oboje, až n- z n.u nás je n= Niektoré realizácie: Práve jedno. 3/6

4 4/6 Príklady viacbitových 8-bitové operandy - bajt logických operácií negácia unárna operácia logický súčet binárna operácia logický súčin ND neekvivalencia OR OR sa tiež nazýva exluzívny súčet, súčet modulo, EOR. V jazyku C treba odlišovať &, od logických spojok && a. ] ~ [ B a b NOT B ] [ C B b a c B OR C ] & [ C B b a c B ND C ] ^ [ C B b a c B OR C

5 5/6 Použitie logických operácií negácia zmena logickej hodnoty všetkých bitov slova na opačnú logickú hodnotu nezávisle od predchádzajúcej logickej hodnoty bitu napr. kódovanie záporných čísel logický súčet vnútenie logickej jednotky do ľubovoľnej pozície v slove tzv. maskou B. Výsledok logického súčtu bude mať hodnotu v bitoch, kde má hodnotu operand B, v ostatných bitoch sa zachová pôvodná logická hodnota C B C B

6 6/6 logický súčin vnútenie log. do ľubovoľnej pozície v slove maskou B. Výsledok logického súčinu bude mať log. v bitoch, kde má log. hodnotu operand B, v ostatných bitoch sa zachová pôvodná logická hodnota neekvivalencia negácia log. hodnoty v ľubovoľnej pozícii v slove maskou B. Výsledok OR bude mať opačnú logickú hodnotu v bitoch, kde má log. hodnotu operand B, v ostatných bitoch sa zachová pôvodná logická hodnota C B C B C B C B

7 7/6 Posuny a rotácie Posuny a rotácie obsahov pamäťových miest patria medzi unárne operátory. Operácie využívajú pomocný bit príznakový bit CPU - Carry bit C. Rotácia obsahu pamäťového miesta doprava Rotácia obsahu pamäťového miesta doľava 7 C 7 C C 7 C 7

8 8/6 Logické posuny Logický posun obsahu pamäťového miesta doprava 7 C Logický posun obsahu pamäťového miesta doľava 7 C

9 9/6 ritmetické posuny ritmetický posun obsahu pamäťového miesta doprava S 6 C S = S = ritmetický posun obsahu pamäťového miesta doľava 7 6 C S = S =

10 Použitie: - cyklické testovanie obsahu bitov - vytváranie slov pri kódovaní - aritmetické posuny - aritmetický posun doprava je celočíselným delením číslom - pri n posunoch ide o celočíselné delenie číslom n 59 : 9 R a b n; celočíselný posun doľava je násobením číslom - pri n posunoch ide o násobenie číslom n * 8 a b n; /6

11 /6 Jazyk C: Operátory na manipuláciu s bitmi & logický súčin po bitoch logický súčet po bitoch ^ neekvivalencia po bitoch << posuv vľavo >> posuv vpravo ~ unárny operátor, jednotkový doplnok! negácia Treba odlišovať &, od logických spojok && a. UNárny operátor -jeden parameter, pracuje s jedným údajom BInárny operátor -dva parametre, pracuje s dvoma údajmi TERnárny operátor -tri parametre, pracuje s troma údajmi?: v jazyku C.

12 Celočíselná aritmetika Medzi základné celočíselné aritmetické operácie, ktoré realizuje LU, patria - súčet - rozdiel Všetky tieto operácie sú binárne. - násobenie - delenie Binárne číslo: Dva znaky a Znamienko mínus - Desatinná, binarna bodka. Vieme zapísať: -. =-.35 Počítač pozná len: a /6

13 Celé čísla bez znamienka k interpretujeme binárny obsah slova, ako zobrazenie dekadického čísla v pozičnej číselnej sústave so základom, ide o zobrazenie celých nezáporných čísel, t.j. celých čísel bez znamienka sú to celé čísla typu unsigned. Súčet, rozdiel čísel bez znamienka Pre súčet, rozdiel binárnych čísel platia pravidlá binárnej aritmetiky pre jednobitové slová, kde okrem výsledného bitu, treba uvažovať signalizáciu prenosu, výpožičky do, z vyššieho rádu. S B B S Modulo, OR carry C borrow 3/6

14 V prípade súčtu dvoch 8-bitových slov bude 59 8 carry v ďalšom príklade 87 8 carry /6

15 5/6 V tomto prípade došlo k požiadavke na prenos do vyššieho rádu, po skončení sčítania. LU obsahujú stavové slovo, ktorého jeden bit Carry Bit slúži na zapisovanie tejto informácie. Po vykonaní súčtu získame informáciu: pamäťové miesto nestačí svojou veľkosťou na zápis výsledku sčítania. - pri viacslovnom sčítaní musíme uvažovať hodnotu tohto bitu pri sčítaní slov vyšších rádov - v prípade súčtu celých čísel bez znamienka platí, že zároveň signalizuje tzv. pretečenie overflow vo všeobecnosti neplatí. Pretečenie znamená, že výsledok operácie nie je zobraziteľný to, čo je vo výsledku, nie je správny výsledok operácie.

16 6/6 Na realizáciu sčítania sa v LU používajú sčítačky realizované pomocou logických obvodov. Pri sčítaní na najnižšom ráde sčítanie nultého rádu sa používa polovičná sčítačka. Popis polovičnej sčítačky pomocou aritmetických operácií s a b mod c a / b a logických operácií s a b ab c a.b Polovičná sčítačka sa dá realizovať pomocou kombinačných obvodov

17 S B C S C Tri možné spôsoby realizácie polovičnej sčítačky. Oneskorenie: S = 3 a C =, 7/6

18 8/6 Vytvorenie úplnej sčítačky pomocou polovičnej sčítačky : B Cin B H 3 H 3 C S Full adder S C out H 3 C Realizácia: 9 obvodov. Oneskorenie: S = 6 a C = 5 C out S

19 9/6 Pri sčítaní na ďalších rádoch treba uvažovať prenosy z predchádzajúcich rádov C carry S C B B S I / mod i i i i i i i i c b a c c b a s i i i i i i i i i i i i i i i i i i i c b a b a c a b c b c a c a b c b a s.

20 Realizácia: obvodov Oneskorenie: S = 3 a C = /6 Možná praktická realizácia úplnej sčítačky :

21 Na sčítanie dvoch n-bitových čísel sa dajú použiť paralelná alebo sériová sčítačka, pričom sa vo všetkých stupňoch používa úplná sčítačka realizácia prenosu z predchádzajúceho sčítania Inkrementácia: nastavíme carry bit a pričítame nuly Paralelná sčítačka: C in a b a a n n b b a b st stage B C in B C in B C in B C in Full adder Full adder Full adder Full adder C out Sum C out Sum C out Sum C out Sum C out S n S S S Výsledok sa šíri sprava doľava = oneskorenie /6

22 /6 Shift register a i Shift register S sum Shift register B b i S i C in C out Shift clock N pulses per addition Q D C Carry flip-flop Sériová sčítačka: oneskorenie dané počtom taktov

23 3/6 Rozdiel čísel bez znamienka Pre odčítanie binárnych čísel platia pravidlá binárnej aritmetiky pre jednobitové slová S B B S borrow B kde okrem výsledného bitu, treba uvažovať signalizáciu výpožičky z vyššieho rádu borrow.

24 V prípade odčítania dvoch 8-bitových slov bude 87 8 borrow borrow [ ] 4/6

25 V druhom prípade je po vykonaní operácie nastavený príznak podtečenia -v prípade viacbajtového odčítania je potrebné tento príznak uvažovať - inak je výsledok nesprávny výsledok nie je zobraziteľný Hardvérovo sa dá odčítačka realizovať, ale na inom princípe, nie realizáciou pravidiel pre odčítanie. Zobrazenie záporných celých čísel Možné reprezentácie celých záporných čísel - priamy kód - inverzný - doplnkový Treba riešiť dve úlohy: Zobraziť číslo, Realizovať operáciu s týmto číslom 5/6

26 Priamy kód: MSB bit, bit s najväčšou váhou: znamienkový bit, n- bitov: absolútna hodnota čísla MSB =, kladné číslo MSB =, záporné číslo Napr.: - rozsah zobraziteľných čísel je symetrický <- n-, n- > - pri aritmetických operáciách treba vyhodnocovať znamienka - nejednoznačná nula Zložité aritmetické operácie potrebujeme sčítačku aj odčítačku nepoužíva sa 6/6

27 Inverzný kód s complement MSB bit, bit s najväčšou váhou: znamienkový bit, MSB =, kladné číslo MSB =, záporné číslo Číslo s opačným znamienkom sa vytvára inverziou bit po bite - rozsah zobraziteľných čísel je symetrický <- n-, n- > - aritmetické operácie zložité - nejednoznačná nula - kód pre n-bitové záporné číslo je vytvorený podľa vzťahu Y Y n 7/6

28 8/6 Inverzný kód s complement n = 4 x x x x x x x x Y Y n

29 9/ > pri sčítaní treba korigovať výsledok pripočítaním obsahu carry bitu k LSB

30 3/6 Doplnkový kód s complement Bit s najväčšou váhou MSB znamienkový bit, n- bitov absolútna hodnota čísla MSB =, kladné číslo MSB =, záporné číslo Číslo s opačným znamienkom sa vytvára v dvoch krokoch: inverzia bit po bite pripočítanie jednotky inkrementácia negácia

31 3/6 negácia z uvedeného vyplýva, že platí - je len jedna nula

32 3/6 - výsledok sčítania dvoch čísel s ľubovolnou kombináciou znamienok v doplnkovom kóde dáva správny výsledok bez korekcie

33 - v prípade súčtu čísel v doplnkovom kóde nastavenie carry bitu neznamená pretečenie. V prípade nerovnakých znamienkových bitov MSB pretečeniu nemôže dôjsť. Len v prípade, že MSB obidvoch operandov je rovnaké, pretečenie nastane vtedy, ak MSB výsledku sa nezhoduje s MSB operandov! Overflow MSB. MSB MSB MSB. MSB B S B MSB S Problémom je, že hodnota MSB jedného z operandov v reálnom prípade je zmenená. Preto na detekciu overflow sa používajú prenosy do vyšších rádov carry bity posledných dvoch stupňov paralelnej sčítačky Overflow c. c c. c n n n n 33/6

34 V=, C= => OK V=, C= => ERROR V=, C= => OK C + V=, C= => OK = = V MSB. MSB MSB MSB. MSB S V c B. n c c n n. cn B MSB S 34/6

35 35/ C -6 V=, C= => OK C + 67 V=, C= => ERROR V c. c c. c n n n n = = V MSB. MSB MSB MSB. MSB B S B MSB S

36 Sčítačka-odčítačka v doplnkovom kóde - kód pre n-bitové záporné číslo v doplnkovom kóde je vytvorený podľa vzťahu: Y - rozsah zobraziteľných čísel je nesymetrický < n-, n- > Y n a a a n b b b n a b C con. b it - + B C in B C in B C in B C in Full adder Full adder Full adder Full adder C out Sum C out Sum C out Sum C out Sum C out S n S S S 36/6

37 Príklad: { = } {B=-3} = {S=+5} C con. b it - B C in B C in B C in B C in Full adder Full adder Full adder Full adder C out Sum C out Sum C out Sum C out Sum C out S n S S S 37/6

38 38/6 BCD kód BCD Binary Coded Decimal dvojkovo-desiatkové kódovanie - zostáva desiatková sústava - číslice sa kódujú do binárneho kódu Existuje veľa možností kódovať dekadické číslice. Najväčší význam majú váhové kódy. Na kódovanie stačia 4 bity nevyužívajú sa všetky kombinácie. Nech d a v a v a v a v 3 3

39 39/6 by kód bol vhodný pre aritmetické operácie mal by splniť nasledovné podmienky:. Jednoznačnosť každej dekadickej číslici je priradená jednoznačne jediná štvorica binárnych číslic. ditívnosť binárny súčet kódov číslic je rovný kódu ich súčtu 3. Symetričnosť ak pre dve dekadické číslice platí: d i d 9 potom medzi číslicami platí: d a a a a d a3a a i a 3 j j 4. Usporiadanosť väčším dekadickým čísliciam sú priradené väčšie kódy možnosť porovnávania číslic 5. Párnosť párnym čísliciam zodpovedajú párne kódy, nepárnym nepárne

40 4/6 Najpoužívanejší kód je pre : v v 4 v v 8 3 Binárny kód Dekadická číslica nevyužité kódy

41 4/6 Príklad: Pre dekadické číslo 357 = BCD Pozn.: Môžeme sa stretnúť s pojmami zhustený a nezhustený zápis čísel v BCD kóde. Posledne uvedený príklad zodpovedá zhustenému zápisu. V prípade nezhusteného kódu sa každá číslica kóduje do osobitného bajtu, doplnením núl do horných štyroch bitov 357 =

42 4/6 Sčítanie a odčítanie v BCD kóde Tento kód nie je symetrický, preto pri aritmetickom sčítaní a odčítaní je treba upravovať výsledok, v prípade prenosu do vyššieho rádu, alebo výpožičke z vyšších rádov. Súčet dvoch operandov kódovaných v BCD kóde sa vykonáva rovnakým spôsobom ako súčet dvoch binárnych celých čísel, majme tri príklady : Vykonajme súčet čísel kódovaných v BCD kóde 3+45, 3+9, 7+9

43 C 68 H V tomto prípade BCD kód výsledku sčítania zodpovedá BCD kódu správneho výsledku C 4C H 56 C 5 H V prvom prípade je kód dolnej štvorice bitov nesprávny, v druhom prípade obidve číslice patria medzi správne BCD kódy, ale výsledok je nesprávny prenos do vyššieho rádu medzi bitmi 3 a 4. C = uxiliary Carry Flag 43/6

44 44/6 Po vykonaní súčtu BCD čísel treba testovať - buď prenos do vyššieho rádu z každej štvorice bitov - alebo, či kód číslice nepatrí do množiny kódov číslic až 9 - alebo je výsledná číslica správna k nastane jeden z dvoch prvých prípadov, vtedy vykonáme opravu pripočítaním čísla 6 na príslušnom ráde C 4C 6 5 H H H 56 C H H H

45 45/6 V obidvoch prípadoch sme získali po korekcii správny kód výsledku. V prípade odčítania môže nastať rovnaká situácia ako pri sčítaní, že dôjde k podtečeniu medzi štvoricami bitov alebo k nesprávnemu kódu číslice C 6 V tomto prípade vo výsledku je neplatný kód číslice s najnižšou váhou a došlo k podtečeniu medzi bitmi 3 a 4. 4

46 46/6 Súčin celých čísel bez znamienka Majme dva binárne osembitové operandy b b b b b b b b B S b b b b B a a a a

47 47/6 Príklad : * 6 * * * * k sú operandy n-bitové, výsledok bude n-bitový.

48 48/6 Súčin celých čísel so znamienkom Budeme uvažovať len čísla vyjadrené v doplnkovom kóde. Na to aby algoritmus násobenia bol použiteľný, je treba: - previesť operandy na kladné čísla, a potom - upraviť výsledok podľa výsledného znamienka súčinu a - korigovať výsledok získaný popísaným algoritmom. Majme operandy a Y, v doplnkovom kóde Y, n Y potom Y n Y n Y obrazom Y je v doplnkovom kóde Y n Y

49 49/6 potom musíme korigovať výsledok pripočítaním čísla korekcia n n Y Y n n n n čo je vlastne o n-bitov posunutý operand zobrazený v doplnkovom kóde, ktorý treba pripočítať k súčinu -Y.

50 5/6 Príklad : Majme čísla 5 a 3. Na ich zobrazenie potrebuje 5 bitov bit znamienkový a 4 bity na zobrazenie čísel 3 a 5. Výsledok násobenia týchto čísel bude bitový * Y

51 5/6 Podobná situácia nastane v prípade, že sú obidva operandy záporné n n n n Y Y n Y Y by bol výsledok správny musíme pripočítať k výsledku n. a n.y, a ignorovať jednotku v Carry Bite. korekcia n n n n n n Y Y Y Y

52 Booth-ov algoritmus lgoritmus dáva správny výsledok pre všetky kombinácie kladných a záporných operandov. V tomto prípade sa testujú dva bity násobiteľa naraz, okrem aktuálneho bitu sa testuje najbližší nižší bit môžu nastať tri situácie :. v aktuálnom bite je a nasledujúcom je potom odčítame násobenca od výsledku. v aktuálnom bite je a nasledujúcom je potom pripočítame násobenca k výsledku 3. ak sú uvedené bity rovnaké nerobíme nič 4. ak pri pripočítaní sa nastaví carry bit, ten sa ignoruje 5. ak je testované LSB násobiteľa, nižší bit sa predpokladá, že je nulový 6. pri posune medzivýsledku sa používa aritmetický posun kopíruje sa MSB 5/6

53 53/ * * C

54 54/6 95 * * C

55 55/6 Idea Booth-ovho algoritmu * * * Pri násobení namiesto piatich súčtov opernadu s medzivýsledkom násobenia, stačí jeden súčet a jeden rozdiel posunutého operandu. Dá sa ukázať podobná vlastnosť v prípade násobenia čísel kódovaných v doplnkovom kóde.

56 56/6 Podiel celých čísel bez znamienka Pre celočíselné delenie platí Y P Z Y alebo P.Y Z : :

57 57/ zvyšok P D P D P D P D P D :

58 58/6 Príznakové bity Sú súčasťou príznakového registra stavového slova procesora, ktorý agreguje okrem iného aj jednobitové informácie o výsledku aritmeticko-logickej operácie, medzi ktoré patria : - C, CY Carry signalizácia prenosu do vyššieho rádu/ výpožičky z vyššieho rádu - Z Zero príznak nuly všetky bity výsledku sú nulové - S Signum kopíruje MSB výsledku - Overflow, Parity atď. Význam príznakových bitov pri vetvení programu!!

59 59/6 Literatúra: [] Clements,: The Principles of Computer Hardware, Oxford [] Stalling, W.: Computer Organization and rchitecture, principles...,

60 6/6

61 6/6 Celočíselná aritmetika so znamienkom word: V nasledovnom príklade sú použité inštrukcie: =<< a =>> H ROL H SR L LSL L ROR Prečo v prvom príklade nie je SL namiesto ROL? Príklady: 4/ =, 3/=. Koľko je -3/?

62 H R3 L R xf5 = x53= <H> ROL = <C>, <C>=b7 H = xe H R3 <L> LSL =, <C>=b7 H = x6 L R xf5 = x53= <H> SR =, <C>=b H= <L> ROR =, <C>=b H = xf x9 6/6